В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический - 14 человек, химический - 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек - и математический и физический, 5 и математический и химический, 3 - и физический и химический.
Решение:
Давайте воспользуемся принципами множеств и множественных операций для решения этой задачи. Представим каждый кружок как множество учеников, которые посещают его. Известно следующее:
1. Количество учеников в классе: \( n = 36 \). 2. Математический кружок: \( M \), посещают 18 человек. 3. Физический кружок: \( F \), посещают 14 человек. 4. Химический кружок: \( H \), посещают 10 человек. 5. Ученики, посещающие все три кружка: \( M \cap F \cap H \), 2 человека. 6. Ученики, посещающие математический и физический кружки: \( M \cap F \), 8 человек. 7. Ученики, посещающие математический и химический кружки: \( M \cap H \), 5 человек. 8. Ученики, посещающие физический и химический кружки: \( F \cap H \), 3 человека.
Сначала давайте найдем количество учеников, которые посещают хотя бы один кружок. Используем принцип включения-исключения:
\[ |M \cup F \cup H| = |M| + |F| + |H| - |M \cap F| - |M \cap H| - |F \cap H| + |M \cap F \cap H| \]
Подставляя известные значения:
\[ |M \cup F \cup H| = 18 + 14 + 10 - 8 - 5 - 3 + 2 = 28 \]
Теперь количество учеников, не посещающих ни один кружок:
\[ |M' \cap F' \cap H'| = n - |M \cup F \cup H| = 36 - 28 = 8 \]
Теперь можно найти количество учеников, посещающих ровно один кружок:
\[ |(M \setminus (F \cup H)) \cup (F \setminus (M \cup H)) \cup (H \setminus (M \cup F))| = |M| - |M \cap F| - |M \cap H| + |M \cap F \cap H| + |F| - |F \cap H| + |H| - |M \cap H| - |F \cap H| = 18 - 8 - 5 + 2 + 14 - 3 + 10 - 5 - 3 = 20 \]
Теперь мы знаем, что остается 8 учеников, которые посещают два кружка. Теперь мы можем выразить количество учеников, посещающих ровно два кружка:
\[ |M \cap F| + |M \cap H| + |F \cap H| = 8 \]
\[ 8 + 5 + 3 = 16 \]
Таким образом, у нас есть:
- 8 учеников, не посещающих ни один кружок. - 20 учеников, посещающих ровно один кружок. - 16 учеников, посещающих ровно два кружка. - 2 ученика, посещающих все три кружка.
Итак, в классе:
- Математический кружок посещают: 20 (20 + 2 - 2). - Физический кружок посещают: 16 (16 + 2 - 2). - Химический кружок посещают: 12 (12 + 2 - 2).
Таким образом, в классе посещают:
- Математический кружок: 20 учеников. - Физический кружок: 16 учеников. - Химический кружок: 12 учеников.