На странице книги печатный текст должен занимать (вместе с промежутками между строк) 216 см2. Верхнее и нижнее поля должны быть шириною по 3 см, а правое и левое по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
Решение:
Давайте обозначим ширину страницы как \(x\) и высоту как \(y\).
С учетом верхних и нижних полей ширина текста будет составлять \(x - 2 \cdot 3 = x - 6\), а высота текста будет \(y - 2 \cdot 2 = y - 4\).
Площадь текста, занимаемая печатным текстом вместе с промежутками между строками, равна \(216 \, \text{см}^2\). Мы можем выразить это как произведение ширины и высоты текста:
\[(x - 6) \cdot (y - 4) = 216.\]
Теперь мы также знаем, что общая площадь страницы равна \(x \cdot y\). Если мы хотим экономить бумагу, то мы хотим минимизировать эту площадь.
Целевая функция: \(A = x \cdot y\).
У нас есть ограничение на площадь текста:
Выразим \(y\) из этого уравнения:
\[y = \frac{216}{x - 6} + 4.\]
Теперь подставим это выражение для \(y\) в целевую функцию:
\[A = x \cdot \left(\frac{216}{x - 6} + 4\right).\]
Раскроем скобки:
\[A = \frac{216x}{x - 6} + 4x.\]
Теперь, чтобы найти минимум \(A\), мы можем продифференцировать его по \(x\) и найти точку, где производная равна нулю:
\[\frac{dA}{dx} = \frac{216(x - 6) - 216x}{(x - 6)^2} + 4 = 0.\]
Решим это уравнение:
\[216x - 216x - 1296 + 4(x - 6)^2 = 0.\]
\[4(x - 6)^2 = 1296.\]
\[(x - 6)^2 = 324.\]
\[x - 6 = \pm 18.\]
\[x = 24 \, \text{см} \, \text{или} \, 0.\]
Так как \(x\) не может быть равно 0 (не имеет физического смысла), наиболее выгодные размеры страницы составляют \(x = 24 \, \text{см}\).
Теперь, используя выражение \(y = \frac{216}{x - 6} + 4\), можно найти соответствующее значение \(y\):
\[y = \frac{216}{24 - 6} + 4 = 14 \, \text{см}.\]
Таким образом, наиболее выгодные размеры страницы: ширина \(24 \, \text{см}\) и высота \(14 \, \text{см}\).