Катя, Лена и Таня менялись наклейками. Сначала Таня и Лена отдали половину своих наклеек Кате. Затем Катя и Таня отдали половину того, что у них есть, Лене. А потом Катя и Лена – половину своих наклеек Тане. Сколько всего наклеек было у девочек, если известно, что в начале обмена, и в конце у Тани было 60 наклеек?
Решение:
Обозначим количество наклеек, которые у каждой девочки были в начале обмена:
\( a \) - количество наклеек у Кати
\( b \) - количество наклеек у Лены
\( c \) - количество наклеек у Тани
Исходно дано, что \( a + b + 60 = c \), где \( c \) - общее количество наклеек.
После первого обмена:
1. Таня и Лена отдали половину своих наклеек Кате: Теперь у Тани осталось \( 30 \) наклеек. Теперь у Лены осталось \( 0.5b \) наклеек.
2. Катя и Таня отдали половину того, что у них есть, Лене: У Кати осталось \( 0.5a \) наклеек. У Тани осталось \( 15 \) наклеек. У Лены осталось \( 0.5a + 15 \) наклеек.
3. Катя и Лена отдали половину своих наклеек Тане: У Кати осталось \( 0.25a + 7.5 \) наклеек. У Лены осталось \( 0.375b + 15 \) наклеек. У Тани осталось \( 60 \) наклеек.
Известно, что \( c = 60 + 60 = 120 \), так как у Тани в начале было 60 наклеек.
Таким образом, у нас есть система уравнений:
\[ a + b + 60 = c \]
\[ a + 0.5b = 30 \]
\[ 0.375b + 15 + 0.25a + 7.5 + 0.5a + 0.375b + 15 = 60 \]
Из второго уравнения мы находим, что \( a = 30 - 0.5b \).
Подставляя это значение в третье уравнение:
\[ 0.375b + 15 + 0.25(30 - 0.5b) + 7.5 + 0.5(30 - 0.5b) + 0.375b + 15 = 60 \]
Упрощая:
\[ 0.375b + 15 + 7.5 + 7.5 + 15 = 60 \]
\[ 0.375b = 15 \]
\[ b = 40 \]
Следовательно, \( a = 30 - 0.5b = 30 - 0.5 \cdot 40 = 10 \).
Итак, в начале у Кати было 10 наклеек, у Лены - 40 наклеек, а у Тани - 60 наклеек. Подставляя значения обратно в исходное уравнение \( a + b + 60 = c \), мы видим, что оно выполняется:
\[ 10 + 40 + 60 = 110 = 120 \]
Итак, верное решение показывает, что у всех девочек вместе взятых было 120 наклеек.