1 КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 1) Из 15 работников предприятия 10 имеют высшее образование. Найти вероятность, что из случайно отобранных трех человек высшее образование имеют: а) три человека; б) хотя бы один человек. 2) В коробке из 20 изделий 15 – повышенного качества. Наугад извлекается 3 изделия. Найти вероятность, что а) только одно изделие повышенного качества; б) хотя бы 2 изделия повышенного качества. 3) В организации работают 12 мужчин и 8 женщин. Для них выделено 3 премии. Найти вероятность, что премию получит: а) две женщины; б) хотя бы 2 мужчин. 4) В ящике содержится 8 годных и 4 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди 3 наудачу отобранных деталей окажется: а) не более 2 годных; б) только 2 дефектные. 5) Из группы, состоящей из 12 мужчин и 10 женщин, случайным образом выбирают 4 человека. Найти вероятность того, что среди них: а) мужчин и женщин будет одинаково; б) женщин будет больше, чем мужчин. 6) Из 25 студентов группы 18 юношей, а остальные – девушки. На конференцию выбирают наугад 3 человек. Найти вероятность того, что: а) все 3 будут девушки; б) будет хотя бы 2 юноши. 7) В партии из 30 деталей 14 деталей – 1-го сорта, 9 деталей – 2-го сорта, остальные – 3-го сорта. Наудачу взяли 3 детали. Найти вероятность того, что: а) все выбранные детали будут одного сорта; б) 2 из выбранных деталей будут одного сорта. 8) В группе 20 студентов. Из них контрольную работу 3 человека написали на 5, 5 человек – на 4, 7 человек – на 3, а остальные получили два. Найти вероятность того, что из наудачу выбранных 3 студентов: а) 2 получили двойки; б) не более 1 получили двойки. 5 9) Из 15 строительных рабочих 10 – штукатуры, а 5 – маляры. Наугад собирается бригада из 5 рабочих. Найти вероятность, что среди них будет: а) только 3 маляра; б) не более 2 штукатуров. 10) К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, из которых 50 спелые. Покупатель выбирает 3 арбуза. Найти вероятность, что: а) все арбузы спелые; б) хотя бы один арбуз спелый. 11)На стеллаже 15 учебников, 8 из них в переплете. Наугад выбирают 4 учебника. Найти вероятность, что в переплете будет: а) 3 учебника; б) хотя бы 2 учебника. 12) В клетке 7 белых и 8 коричневых кроликов. Наудачу выбирают 5 кроликов. Найти вероятность того, что: а) среди них 2 кролика белого цвета; б) все 5 кроликов одного цвета. 13) В гостинице имеется 4 отдельных номеров. На них претендуют 8 человек, из которых 5 мужчин и 3 женщины. Гостиница следует принципу: «Пришедший раньше — обслуживается раньше». Найти вероятность того, что: а) все 3 женщины получат номера; б) по крайней мере, 2 женщины получат номера. 14) В лотерее на 20 билетов разыгрывается 5 выигрышей. Ученик выбирает из урны наугад 3 билета. Найти вероятность, что среди них оказалось: а) ровно 2 выигрышных билета; б) по крайней мере, 2 выигрышных билета. 15)Ящик содержит 16 годных и 4 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых из ящика деталей: а) нет дефектных; б) по крайней мере, 1 деталь без дефекта. 16) В ящике имеется 8 белых, 4 черных и 5 красных шаров. Наудачу взяли 3 шара. Найти вероятность того, что а) они будут одного цвета; б) двое из них будут одного цвета. 17) В магазине имеется в продаже 20 пар обуви, из которых 6 пар 42-го размера. Найти вероятность, что из 8 покупателей выберут обувь 42-го размера: а) только 3 покупателя; б) не более 3 покупателей. 6 18) В группе из 25 человек 10 учатся на «отлично», 8 – на «хорошо» и 7 – на «удовлетворительно». Найти вероятность, что из выбранных наугад 8 человек учатся на «отлично»: а) 3 человека; б) хотя бы один человек. 19) В урне имеется 7 черных и 5 красных шаров. Наугад извлекается три шара. Найти вероятность, что все три шара будут: а) красные; б) одного цвета. 20) В группе из 15 человек 6 человек занимаются спортом. Найти вероятность, что из случайно отобранных 7 человек занимаются спортом: а) 5 человек; б) хотя бы один человек. 21) Из 15 билетов выигрышными являются 5. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 4 билетов: а) 2 выигрышных; б) хотя бы один невыигрышный. 22) В урне 8 красных и 7 синих шаров. Наугад выбирают 3 шара. Найти вероятность, что среди выбранных шаров будет: а) красных меньше 2; б) только 1 белый. 23) В цехе работают 8 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 5 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется: а) 3 женщины; б) не более 2 женщин. 24) Имеется 5 синих, 6 красных и 4 зеленых шаров. Наугад берут 3 шара. Найти вероятность того, что: а) двое из выбранных шаров имеют одинаковый цвет; б) все 3 шара одного цвета. 25) Библиотечка состоит из 12 различных книг, причем 5 книг – по алгебре, 3 – по геометрии и 4 – по теории вероятностей. Наудачу выбрали 3 книги. Найти вероятность того, что: а) они все по алгебре; б) среди выбранных книг хотя бы одна по алгебре. 26) В клетке содержится 16 кур. Из них 6 не вакцинированы. Всех кур делят на две равные партии. Найти вероятность, что невакцинированные куры: а) разделятся поровну; б) попадут в одну партию. 7 27) Собрание, на котором присутствует 20 человек, в том числе 5 мужчин, выбирает делегацию из трех человек. Найти вероятность, что в делегацию войдут: а) только 2 женщины; б) все мужчины. 28) Среди 20 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрываются 5 билетов в театр. Найти вероятность, что среди обладателей билетов окажутся: а) три девушки; б) хотя бы один юноша. 29) Среди изготовленных 20 изделий имеется 5 нестандартных. Наугад выбирают 4 детали. Найти вероятность, что среди отобранных нестандартных будет: а) только две; б) не более двух. 30) Экзамен по математике содержит 20 вопросов по алгебре и 15 по геометрии. Студент успел подготовить только 15 вопросов по алгебре и 10 по геометрии. Билет содержит 2 вопроса по алгебре и 1 геометрии. Найти вероятность, что студент отвечает: а) на все три вопроса; б) на любые два вопроса. 2 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 1) На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше расстояния от точки O до ближайшей к ней точке. 2) В области, ограниченной эллипсом 1 25 9 2 2 + = x y , разбросаны 2 квадрата со сторонами 2 и 3. Квадраты не пересекаются друг с другом и с эллипсом. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в эллипс, не попадет ни в один из квадратов. 3) Наудачу взяты 2 положительных числа x и y, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что разность y − x не превосходит 1, а произведение x ⋅ y не превосходит 2. 8 4) На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше 2 L . 5) В правильный треугольник со стороной 4 вписан круг. Найти вероятность того, что точка, брошенная наугад в треугольник, попадет и в круг. 6) Наудачу взято положительное число x, которое не превышает 4, и положительное число x, которое не превышает 2. Найти вероятность того, что их сумма не меньше 2, а их произведение не больше 2. 7) На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC не меньше 4 L , но не больше 2 L . 8) В области, ограниченной квадратом со стороной 4, разбросаны два кружочка с диаметром1. Кружочки не пересекаются друг с другом и с квадратом. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в квадрат, не попадет ни в один из кружочков. 9) Наудачу взято положительное число x, которое не превышает 3, и положительное число y, которое не превышает 1. Найти вероятность того, что частное x / y не меньше 2, а сумма не больше 3. 10) На отрезке АВ длины L наудачу взяты 2 точки M и N. Найти вероятность того, что точка M будет ближе к точке N, чем к точке А. 11) Внутри круга 16 2 2 x + y = расположен эллипс 9 9 2 2 x + y = . Найти вероятность попадания точки в область, ограниченную эллипсом и кругом. 9 12) Наудачу взяты 2 положительных числа x и y, каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того, что их сумма не больше 1,а произведение не меньше 0,09. 13) На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше 4 L . 14)Наудачу взяты 2 положительных числа x и y, каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того, что их сумма не меньше 1, а произведение не больше 2/9. 15) Внутри эллипса 1 36 9 2 2 + = x y расположен круг 4 2 2 x + y = . Найти вероятность попадания точки в область, ограниченную эллипсом и кругом. 16) На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше расстояния от точки A до ближайшей к ней точки. 17) Наудачу взяты 2 положительных числа x и y, каждое из которых не превосходит 4. Найти вероятность того, что их сумма не меньше 2, а разность y − x не меньше 1. 18) В области, ограниченной эллипсом 1 9 4 2 2 + = x y , разбросаны 3 кружочка радиуса 0,1. Кружочки не пересекаются друг с другом и с эллипсом. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в эллипс, не попадет ни в один из кружков. 19) На отрезок OA длины 20 см числовой оси Ox наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до одного из концов отрезка не превосходит величину 1/5. 20) В круг радиуса 3 вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка, брошенная наугад в круг, окажется вне квадрата. 10 21) Наудачу взяты 2 положительных числа x и y, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что произведение x ⋅ y не превышает 1, а частное y / x не меньше 1/4. 22) На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC больше расстояния от точки O до ближайшей к ней точке. 23) Внутри эллипса 1 25 16 2 2 + = x y расположен круг 4 2 2 x + y = . Найти вероятность того, что точка, поставленная наугад в эллипс, попадет и в круг. 24) Наудачу взяты 2 положительных числа x и y, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что разность y − x не превышает 1, а частное y / x не меньше 2. 25) На отрезок OA длины 10 см числовой оси Ox наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/7. 26) Внутри круга 9 2 2 x + y = расположен эллипс 4 4 2 2 x + y = . Найти вероятность того, что точка, поставленная наугад в круг, попадет и в эллипс. 27) В круг радиуса 12 см наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны 2,4 см2 и 5,6 см2 . 28) На отрезок OA длины L числовой оси Ox бросают наугад и независимо друг от друга 2 точки B и C. Найти вероятность того, что расстояние между ними не меньше 4 L . 29) В квадрат со стороной 4 вписан круг. Найти вероятность того, что точка, брошенная наугад в квадрат, окажется вне круга. 11 30) В круг радиуса 16 см наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что она не попадет ни в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны 2,7 см2 и 8,2 см2 . 3 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1) Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что первый студент сдаст экзамен на «отлично», равна 0,7, для второго – 0,6, для третьего – 0,2. Найти вероятность, что экзамен будет сдан на «отлично»: а) только одним студентом; б) хотя бы одним студентом. 2) Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,75, второго – 0,85, третьего – 0,95. Найти вероятность, что: а) откажут два станка; б) хотя бы один станок откажет в работе. 3) На спортивных соревнованиях вероятность показать рекордный результат для первого спортсмена – 0,5, для второго – 0,3, для третьего – 0,1. Найти вероятность, что рекорд будет установлен: а) одним спортсменом; б) хотя бы одним спортсменом. 4) В первой бригаде из 8 тракторов 2 требуют ремонта, во второй из 6 тракторов 1 требует ремонта. Из каждой бригады наугад выбирают по одному трактору. Найти вероятность, что: а) оба трактора исправны; б) хотя бы один исправен. 5) Семена высшего сорта всходят с вероятностью 0,8; 1-го сорта ― с вероятностью 0,7; 2-го сорта ― с вероятностью 0,6. Определить вероятность того, что из трех посаженных семян разного сорта взойдет: а) только одно; б) хотя бы одно из семян. 6) Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,8; при втором ― 0,75; при третьем ― 0,6. Найти вероятность поражения цели: а) всеми тремя выстрелами; б) хотя бы двумя выстрелами. 12 7) Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; для второго ― 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один сигнализатор. 8) Из партии товаровед наугад отбирает 3 изделия. Вероятность того, что первое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8; для второго изделия ― 0,85; для третьего ― 0,9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет: а) только 2 изделия высшего сорта; б) хотя бы одно изделие высшего сорта. 9) Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания в танк при одном выстреле для первого орудия ― 0,5; для второго – 0,4. Найти вероятность того, что при залпе: а) попадут оба орудия; б) будет хотя бы одно попадание в цель. 10) В двух группах обучается по 20 студентов. В первой группе сессию на «отлично» сдали 7 человек, во второй – 4 человека. Из каждой группы наугад вызывают по одному студенту. Найти вероятность, что: а) оба студента отличники; б) хотя бы один отличник. 11) В коробке находятся жетоны с цифрами от 1 до 10. Наугад извлекают два жетона. Найти вероятность, что будут вынуты: а) оба жетона с нечетными номерами; б) хотя бы один жетон с четным номером. 12) В 1-ом ящике находятся 14 изделий, из них 6 с браком; во 2-ом ящике — 20 изделий, из них 4 с браком; в 3-ем ящике ― 15 изделий, из них 3 с браком. Из каждого ящика наугад вынимают по одному изделию. Найти вероятность того, что: а) хотя бы одно изделие без брака; б) только 2 изделия без брака. 13) Вероятность того, что при первом измерении физической величины будет допущена ошибка, равна 0,2; при втором измерении ― 0,3; при третьем измерении ― 0,4. Найти вероятность того, что будет допущена ошибка: а) только в одном измерении; б) хотя бы в одном измерении. 13 14) Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Определить: а) вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей; б) вероятность того, что не придет никто. 15) Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,7. При каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается на 0,05. Найти вероятность того, что стрелок попадет: а) хотя бы одним выстрелом; б) только один раз. 16) В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 (из них 3 стандартных), во втором — 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что: а) обе детали окажутся стандартными; б) только одна деталь будет стандартной. 17) Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12. Каждому студенту задают по одному вопросу. Найти вероятность, что правильно ответит на вопрос: а) только первый студент; б) хотя бы один студент. 18) Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2, на втором – 0,35, на третьем – 0,15. Найти вероятность, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) хотя бы на одном предприятии. 19) Стрелок стреляет три раза по удаляющейся от него мишени. Вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела она уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность попадания в мишень: а) хотя бы один раз; б) два раза. 20) Вероятность поражения цели 1-м стрелком при одном выстреле равна 0,8; 2-м – 0,7. Найти: а) вероятность того, что цель при залпе будет поражена только одним стрелком; б) вероятность того, что цель будет поражена, если для этого достаточно, хотя бы одного попадания при залпе. 14 21) Студент разыскивает нужную ему формулу в 3 справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1-м справочнике, равна 0,6; во 2-м ― 0,7; в 3-м ― 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) в двух справочниках; б) хотя бы в одном справочнике. 22) Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд 4 карты масти «пики». Рассмотреть два случая: а) карты не возвращаются; б) карты возвращаются и перемешиваются перед следующим извлечением. 23) Слово «абракадабра» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами тщательно перемешиваются и из них извлекаются по очереди 5 карточек. Какова вероятность получить слово «барак», если: а) выбранные карточки возвращаются и перемешиваются перед следующим извлечением; б) выбранные карточки не возвращаются. 24) В первой урне из 10 шаров, 6 серного и 4 белого цвета, во второй – 3 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны наугад извлекается один шар. Найти вероятность, что взяты: а) 2 белых шара; б) хотя бы один шар черный. 25) Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятности попадания в эти зоны при одном выстреле соответственно равны 0,1; 0,35; 0,4. Найти вероятность: а) попадания в первую или третью зону; б) промаха в мишень. 26) В коробке 12 карандашей трех цветов, по 4 карандаша каждого цвета. Наугад вынимают три карандаша. Найти вероятность, что все карандаши окажутся разного цвета. Рассмотреть два случая: а) карандаши возвращаются в коробку; б) карандаши не возвращаются в коробку. 27) Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,6, из второго – 0,65, из третьего – 0,7. Цель будет поражена, если в нее попадут не менее двух орудий. Найти вероятность: а) поражения цели; б) промаха одним или двумя орудиями. 15 28) Три стрелка стреляют в одну мишень. Известно, что вероятность попадания с одного выстрела равна: 0,8 ― у 1-го стрелка, 0,7 ― у 2-го стрелка, 0,6 ― у 3-го стрелка. Найти вероятность того, что в результате одновременного выстрела всех стрелков в мишени появится: а) только одна пробоина; б) хотя бы одна пробоина. 29) Производится стрельба по некоторой мишени, вероятность попадания в которую при первом выстреле равна 0,8. При каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается на 0,1. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено: а) 4 выстрела; б) не более 3 выстрелов. 30) В первой урне 5 красных, 3 белых и 2 черных шара. Во второй урне – 2 белых и 3 черных шара. Из первой урны взято 2 шара, из второй – 1. Найти вероятность, что: а) все шары одного цвета; б) все шары разного цвета. 4 ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА 1) В первом ящике 10 деталей, из них 8 стандартных. Во втором – 6 деталей, из них 5 стандартных. Из второго ящика переложили в первый одну деталь. Затем из второго ящика извлекли еще одну деталь. Найти вероятность, что она оказалась нестандартная. 2) Перед посевом 95% семян обрабатываются специальным раствором. Всхожесть семян после обработки – 99%, необработанных – 85%. Найти вероятность, что случайно взятое семя взойдет. 3) Два предприятия выпускают однотипные изделия, причем второе – 55% всех изделий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием равна 0,1, вторым – 0,15. Найти вероятность, что взятое наугад изделие окажется нестандартным. 16 4) Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех магазинов. Вероятность того, что покупатель купит товар в первом магазине, равна 0,4, во втором – 0,6, в третьем – 0,8. Найти вероятность, что покупатель купит товар в каком-то магазине. 5) Имеется три ящика. В первом – 3 белых и 2 черных шара, во втором и третьем – по 4 белых и 3 черных шара. Из случайно выбранного ящика извлекается шар. Он оказался белым. Найти вероятность, что шар взят из третьего ящика. 6) Из пяти винтовок, из которых 3 снайперские и 2 обычные, наугад выбирается одна, и из нее производится выстрел. Вероятность попадания из снайперской винтовки – 0,95, из обычной – 0,7. Найти вероятность попадания в мишень. 7) В районе 20 человек обучаются в институте, из них шесть – мехмате, десять – на экономфаке, четыре – на юрфаке. Вероятность успешно сдать все экзамены на сессии для студентов мехмата равна 0,6, экономфака – 0,76, юрфака – 0,8. Найти вероятность, что наугад взятый студент успешно сдаст все экзамены. 8) Для посева заготовлены семена 4 сортов пшеницы. Причем 20% всех семян 1-го сорта, 30% - 2-го сорта, 10% - 3-го сорта, 40% - 4-го сорта. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, для 1-го сорта равна 0,5, для 2-го – 0,3, для 3-го – 0,2, для 4-го – 0,1. Найти вероятность, что наугад взятое зерно даст колос. 9) В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 игранных. Из ящика наугад извлекают мяч для игры. После игры мяч возвращают обратно в ящик. После этого из ящика вынимают еще мяч для следующей игры. Найти вероятность, что мяч оказались неигранным. 10) Две машинистки печатали рукопись, заменяя друг друга. В итоге первая напечатала 1/3 всей рукописи, а вторая – остальное. Первая машинистка делает ошибки с вероятностью 0,15, вторая – 0,1. При проверке обнаружена ошибка. Найти вероятность, что ее допустила первая машинистка. 17 11) На предприятии работают 10 рабочих шестого разряда, 15 – пятого разряда, 5 – четвертого разряда. Вероятность, что изделие, изготовленное рабочим соответствующего разряда, будет одобрено ОТК, равна 0,95; 0,9; 0,8. Найти вероятность, что изделие, проверенное ОТК, будет одобрено. 12) В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй. Вероятность, что продукция окажется стандартной для первой бригады, равна 0,7, для второй – 0,8. Найти вероятность, что взятая наугад единица продукции будет стандартной. 13) Из трамвайного парка в случайном порядке выходят четыре трамвая маршрута №1 и восемь трамваев маршрута №2. Найти вероятность того, что второй по порядку вышедший на линию трамвай будет иметь №1. 14) В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен: 3 студента подготовлены отлично, 4 студента – хорошо, 2 студента – посредственно, 1 студент – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 16, посредственно подготовленный – на 10, плохо подготовленный – на 5. Найти вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на произвольно заданный вопрос. 15) Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а материал второго цеха – 20% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефектов. Найти вероятность, что она поступила из первого цеха. 16) В сентябре вероятность дождливого дня равна 0,3. Команда выигрывает в футбол в ясный день с вероятностью 0,8, а в дождливый с вероятностью 0,4. Найти вероятность, что команда выиграла некоторую игру. 17) В первом ящике содержится 20 деталей, из них 10 стандартные, во втором - 30 деталей, из них 25 стандартные, в третьем - 10 18 деталей, из них 8 стандартные. Из случайно взятого ящика наугад взята одна деталь. Найти вероятность, что она оказалась стандартной. 18) Студент в поисках книги посещает 3 библиотеки. Вероятности того, что она есть в библиотеках, равны 0,4; 0,5; 0,1, а того, что она выдана или нет – равновероятно. Найти вероятность, что нужная книга найдена. 19) Пассажир за получением билета может обратиться в одну из касс. Вероятность обращения в первую кассу равна 0,4, во вторую – 0,35, в третью – 0,25. Вероятность, что к приходу пассажира в кассе все билеты будут проданы, равна для первой кассы 0,3, для второй – 0,4, для третьей – 0,6. Найти вероятность, что пассажир купит билет. 20) На склад поступила однотипная продукция с трех фабрик. Объемы поставок относятся соответственно как 1:2:7. Нестандартных изделий среди продукции первой фабрики – 3%, второй – 2%, третьей – 1%. Наугад взятое изделие со склада оказалось нестандартным. Найти вероятность, что оно произведено первой фабрикой. 21) В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,8; для велосипедиста – 0,7; для бегуна – 0,9. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит квалификационную норму. 22) Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата в три раза больше производительности второго. Вероятность изготовить стандартную деталь на первом автомате равна 0,95, а на втором – 0,8. Найти вероятность, что взятая наугад деталь будет стандартной. 23) Семена для посева поступают из трех хозяйств. Причем первое и второе хозяйства присылают по 40% всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства равна 90%, второго – 85%, третьего – 95%. Найти вероятность, что наугад взятое семя не взойдет. 19 24) На сборку поступило 50 деталей от первого станка, 100 - от второго и 150 – от третьего. Первый станок дает 2%, второй – 1% и третий 2% брака. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется не бракованной. 25) Перед посевом 90% всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения вредителями для растений из обработанных семян равна 0,08, для растений из необработанных семян – 0,4. Взятое наугад растение оказалось пораженным. Найти вероятность, что оно выращено из обработанных семян. 26) В торговую фирму поступают телевизоры от трех фирм изготовителей в соотношении 2:5:3. Телевизоры, поступающие от первой фирмы, требуют ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, от второй и третьей – соответственно в 8% и 6% случаев. Найти вероятность, что проданный телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока. 27) Стрелковое отделение получило 10 винтовок, из которых 8 пристрелянных, а две нет. Вероятность попадания из пристрелянной винтовки равна 0,6, а из не пристрелянной – 0,4. Найти вероятность, что стрелок попадет в цель из наугад взятой винтовки. 28) Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса – 0,13. Вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Найти вероятность, что случайно выбранный клиент банка не вернет кредит. 29) У рыбака имеется 2 места ловли рыбы, которые он посещает с одинаковой вероятностью. На первом месте рыба клюет с вероятностью 0,6, на втором – с вероятностью 0,7. Рыбак, выйдя на ловлю в одно из мест, закинул удочку. Найти вероятность, что рыба клюнет. 30) Для проверки результатов назначена группа экспертов, состоящая из трех подгрупп. В первой подгруппе – 2 человека, во второй – 5 и в третьей – 3. Эксперты первой подгруппы 20 принимают верное решение с вероятностью 0,7, второй – 0,8 и третьей – 0,6. Наугад вызванный эксперт принял верное решение. Найти вероятность, что принимал решение эксперт из первой подгруппы. 5 ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА 1) Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найти вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдут не менее четырех. 2) Вероятность выбора отличника на факультете равна 1/7. Из группы наугад вызываются три студента. Найти вероятность, что среди них окажется только один отличник. 3) Бланк программированного опроса состоит из пяти вопросов. На каждый даны три ответа, среди которых один правильный. Найти вероятность, что студент даст, по крайней мере, четыре правильных ответа. 4) Торговый агент в среднем контактирует с восемью потенциальными покупателями в день. Из опыта известно, вероятность, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,1. Найти вероятность, что у агента будут хотя бы две продажи в течение дня. 5) Производство дает в среднем 6% брака. На испытание взято 10 изделий. Найти вероятность того, что среди них нет бракованных. 6) Вероятность выигрыша по лотерейному билету лотереи равна 0,1. Найти вероятность, что выиграет хотя бы один билет из трех купленных. 7) В магазин вошли 10 покупателей. Вероятность того, что каждый из них в отдельности совершит покупку, равна 0,4. Найти вероятность того, что не более 4 покупателей совершат покупки. 21 8) Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Произведено три выстрела. Найти вероятность, что будет один промах. 9) Игральная кость подброшена три раза. Найти вероятность, что четное число очков выпадет только один раз. 10) Бросается три игральных кости. Найти вероятность, что хотя бы на одной из них появится пять очков. 11) Проверкой установлено, что определенный сорт хлопка содержит 12% коротких волокон. Найти вероятность того, что из наугад выбранных 6 волокон окажется не более половины коротких. 12) Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность, что в семье, где четверо детей, не менее двух девочек. 13) Для Коли вероятность выиграть у Ирины шахматную партию равна 0,8. Сыграно 4 партии. Найти вероятность того, что Коля выиграет 3 партии. 14) На базе 8 машин технической службы. Для бесперебойной работы необходимо, чтобы не меньше шести машин были в исправном состоянии. Вероятность исправного состояния для каждой машины равна 0,9. Найти вероятность бесперебойной работы базы. 15) В среднем каждый десятый договор страховой компании завершается выплатой по страховому случаю. Компания заключила пять договоров. Найти вероятность, что страховой случай наступит один раз. 16) Вероятность того, что взятая на прокат машина будет возвращена исправной, равна 0,6. Найти вероятность того, что из четырех возвращаемых машин две окажутся исправными. 17) Фирма рассылает рекламные проспекты восьми потенциальным партнерам. В среднем у каждого пятого партнера возникает интерес к фирме. Найти вероятность, что это произойдет в трех случаях. 22 18) Монета подбрасывается шесть раз. Найти вероятность, что герб появится не менее 4 раз. 19) В студии телевидения имеется 6 телевизионных камер. Для каждой камеры вероятность, что она включена в данный момент, равна 0,4. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера. 20) Отдел надзора курирует деятельность коммерческих банков. При сдаче отчетности финансовые нарушения обнаруживаются в среднем у 5% банков. На проверку выбрано три банка. Найти вероятность, что с нарушениями финансовой отчетности будет один банк. 21) Станок-автомат делает детали. Вероятность, что деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных. 22) Установлено, что виноградник поражен вредителями в среднем на 10%. Найти вероятность, что из 10 проверенных кустов винограда один будет поражен. 23) Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0,7. Найти вероятность получения 75 положительных исходов при 100 анализах. 24) На факультете 900 студентов. Вероятность дня рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Найти вероятность, что найдутся три студента с одним и тем же днем рождения. 25) В пчелиной семье 5000 пчел. Вероятность заболевания в течение дня равна 0,01 для каждой пчелы. Найти вероятность, что в течение дня заболеет более чем одна пчела. 26) Известно, что 80% специалистов имеет высшее образование. Найти вероятность, что из 100 наугад отобранных человек высшее образование имеет не менее 70. 27) Стрелок выполнил 400 выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Найти вероятность, что он попал 325 раз. 23 28) Средний процент невозвращения в срок кредита, выдаваемого банком, составляет 5%. Найти вероятность, что при выдаче банком 100 кредитов проблемы с возвратом возникнут не менее чем в двух случаях. 29) Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,03. Поступило 500 вызовов. Найти вероятность, что произошло 7 «сбоев». 30) Численность работников предприятия равна 500 человек. Вероятность невыхода на работу из-за болезни равна 0,01 для каждого работника. Найти вероятность, что в ближайший день не выйдет на работу хотя бы один работник.
Задача 2 1) В группе из 10 спортсменов 6 мастеров спорта. Отбирают трех спортсменов. Составить закон распределения числа мастеров спорта из отобранных спортсменов. 28 2) Вероятность, что покупатель совершит покупку в магазине, равна 0,4. Магазин посетило 3 покупателя. Составить закон распределения числа покупателей, совершивших покупку. 3) Подбрасывается три раза игральная кость. Составить закон распределения числа выпадений нечетной цифры. 4) Три баскетболиста бросают мяч в корзину. Вероятности попадания у них соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8. Составить закон распределения числа промахов при однократном бросании каждого. 5) Производится 5 выстрелов по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,7. Составить закон распределения числа промахов. 6) На конноспортивных соревнованиях необходимо преодолеть по очереди четыре препятствия с вероятностями, равными соответственно 0,9; 0,8; 0,7; 0,6. При первой неудаче спортсмен в дальнейших соревнованиях не участвует. Составить закон распределения числа взятых препятствий. 7) В партии из 10 деталей 8 стандартные. Наугад взято три детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди взятых. 8) Для соревнований из группы выделено 5 девушек и 5 юношей. Требуется составить волейбольную команду. Составить закон распределения числа юношей в команде. 9) В гараже находится 9 автомашин, среди которых 4 требуют ремонта. На линию выпущено 5 автомобилей. Составить закон распределения числа машин, не требующих ремонта. 10) Монета подбрасывается 5 раз. Составить закон распределения числа появлений «решки». 11) Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,9, вторым – 0, 8 и третьим – 0,7. Каждый стрелок производит по одному выстрелу. Составить закон распределения числа попаданий в цель. 29 12) Имеется 6 ключей, из которых только один подходит к замку. Испробованный ключ в последующих пробах не участвует. Составить закон распределения числа проб при открывании замка. 13) На сборку поступило 12 деталей, среди которых 4 с браком. Случайным образом берут 5 деталей. Составить закон распределения числа бракованных деталей среди выбранных. 14) Два раза брошена игральная кость. Составить закон распределения числа выпадений «пятерки». 15) Охотник ведет стрельбу по цели до первого попадания, имея 4 патрона. Известно, что вероятность попадания при каждом выстреле – 0,7. Составить закон распределения числа израсходованных патронов. 16) В коробке 7 карандашей, из которых 4 красных. Из этой коробки наугад извлекается 3 карандаша. Составить закон распределения числа красных карандашей среди выбранных. 17) Вероятность успешной сдачи экзамена первым студентом равна 0,7, а вторым – 0,8. Составить закон распределения числа студентов, успешно сдавших экзамен. 18) В барабане лотереи осталось 10 билетов, среди которых 4 с выигрышем. Наугад вытаскивают 6 билетов. Составить закон распределения числа выигрышных билетов среди них. 19) В билетном зале 3 кассы. Вероятности того, что с 12 до 13 ч они работают, соответственно равны 0,95; 0,85 и 0,8. Составить закон распределения числа работающих касс в течение этого часа. 20) Монета подбрасывается 4 раза. Составить закон распределения числа появлений «орла». 21) В группе из 12 студентов 3 иногородних. Для социологического опроса наугад выбирают 4 студентов. Составить закон распределения числа иногородних студентов среди выбранных. 30 22) Заявки, рассылаемые фирмой, удовлетворяются в 30% случаев. Фирма разослала 4 заявки. Составить закон распределения числа удовлетворенных заявок. 23) На табло 10 лампочек, среди которых 6 сигнализируют о работе некоторого устройства. Случайным образом загораются 4 лампочки. Составить закон распределения числа лампочек, сигнализирующих о работе данного устройства. 24) Брошены две игральные кости. Составить закон распределения числа появлений четной цифры. 25) Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекаются три работы. Составить закон распределения числа работ, оцененных на «отлично» среди извлеченных. 26) Подбрасываются две игральные кости. Составить закон распределения суммы выпавших при этом очков. 27) В ящике 6 белых и 4 красных шаров. Наугад вытаскивают 4 шара, возвращая всякий раз шар обратно. Составить закон распределения числа белых шаров, появляющихся при этом. 28) Вероятность рождения в семье мальчика равна 0,515. Семья имеет четырех детей. Составить закон распределения числа мальчиков в этой семье. 29) В бригаде имеется три трактора. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,8, второго – 0,7 и третьего – 0,9. Составить закон распределения числа тракторов, работавших безотказно в бригаде. 30) В стае 20 птиц, из которых 9 окольцовано. Орнитологи поймали 4 птицы. Составить закон распределения числа окольцованных птиц среди пойманных.