209. Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма а) меньше двух для любого остроугольного треугольника; б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна двух арктангенсов числа 4/3; в) среди треугольников с тупым углом, меньшим двух арктангенсов 4/3, имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше двух, и такие треугольники, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше двух. М.Л. Гервер. Решение — в №3–1974. Статья <Сюрпризы> первого номера 1974 года 210. ∗ Рассмотрим последовательности, состоящие из 3000 цифр 1 и 2. В такой последовательности разрешено поменять местами любые две соседние тройки цифр. Две последовательности называем эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую несколькими такими перестановками. Сколько существует неэквивалентных последовательностей? Г.А. Гуревич. Решение — в №3–1974 211. Д ано n точек, n > 4 . Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении). Г.Ш. Фридман. VII Всесоюзная олимпиада. Решение — в №4–1974 212. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлены 14 монет. Эксперт знает, что семь из них — фальшивые, остальные — настоящие, причём он выяснил, какие именно фальшивые, а какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, а фальшивые легче настоящих. Эксперт хочет тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно фальшивые, а остальные — настоящие. Сможет ли он это сделать? Р.В. Фрейвальд и А.Л. Тоом. VII Всесоюзная олимпиада. Решение — в №4–1974 213. Дан угол с вершиной О и окружность, касающаяся его сторон в точках А и В. Из точки А параллельно ОВ проведён луч, пересекающий окружность в точке С. Отрезок ОС пересекает окружность в точке Е, а прямые АЕ и ОВ пересекаются в точке K. Докажите равенство ОK = KВ. Е.В. Саллинен. VII Всесоюзная олимпиада. Решение — в №4–1974 214. Квадратный трёхчлен f(x) = ax2 + bx + c таков, что уравнение f(x) = x не имеет вещественных корней. Докажите, что и уравнение f(f(x)) = x не имеет вещественных корней. Ю.И. Ионин. VII Всесоюзная олимпиада. Решение — в №4–1974 215. ∗ На бесконечном клетчатом листе белой бумаги n клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени t = 1 , 2, 3, ... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка K приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки K и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то K становится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной). Докажите следующие утверждения. а) Через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки. б) Чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n. А.Л. Тоом. VII Всесоюзная олимпиада. Решение — в №4–1974 216. N человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом N. Г.А. Гальперин. VII Всесоюзная олимпиада. Решение — в №4–1974 30 217. Дан выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка внутри него. Докажите, что через эту точку нельзя провести больше n прямых, каждая из которых делит площадь многоугольника пополам. Е.В. Саллинен. VII Всесоюзная олимпиада. Решение — в №4–1974 218. Если x1 , x2 , x3 , x4 , x5 — положительные числа, то (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)2 4(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1). Докажите это. Б.Д. Гинзбург, В.Л. Рабинович и В.Л. Гутенмахер. VII Всесоюзная олимпиада. Решение — в №4 и на странице 45 одиннадцатого номера 1974 года 219. В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами? Н.Б. Васильев. VII Всесоюзная олимпиада. Решение — в №5–1974 220. Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице.) А.В. Климов. VII Всесоюзная олимпиада. Решение — в №5–1974. Статья И.Ф. Акулича <Прогулки короля> третьего номера 2000 года. Статья Н.Б. Васильева <Вокруг формулы Пика> двенадцатого номера 1974 года 221. На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее расстояние до границы кляксы, а также наибольшее расстояние до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выберем наибольшее, а среди наибольших — наименьшее. Какую форму имеет клякса, если эти две величины равны? Восьмиклассник А.Я. Блох. Решение — в №5–1974 222. У любого выпуклого многогранника есть две грани с одинаковым числом сторон. Докажите это. А. Грюнталь и Г.А. Гальперин. Решение — в №6–1974 223. Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 — совершенное: 28 = 1 + + 2 + 4 + 7 + 14 .) Докажите, что совершенное число не может быть квадратом. Девятиклассник А.Макаричев. Решение — в №6–1974 224. У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Докажите, что углы между этими биссектрисами либо все три тупые, либо все острые, либо все прямые. Э.Г. Готман. Решение — в №6–1974 225. Грани кубика занумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что сумма номеров на противоположных гранях равна 7. Кубик катят из левого нижнего в правый верхний угол шахматной доски размером 50 × 50 клеток (каждая клетка доски равна грани кубика) так, что он каждый раз переваливается через своё ребро на соседнюю клетку; при этом разрешено двигаться только вправо или вверх. На каждой из клеток по пути кубика пишется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может иметь сумма всех 99 выписанных чисел? Какое наименьшее? Г.А. Гальперин. Решение — в №6–1974 226. В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду. При этом, если кузнечик А прыгает через кузнечика В, то после прыжка он оказывается от В на том же расстоянии (но, естественно, по другую сторону и на той же прямой). Может ли после нескольких прыжков один из кузнечиков попасть в четвёртую вершину исходного квадрата? Ю.И. Ионин. Решение — в №6–1974. Статья Н.Б. Васильева <Вокруг формулы Пика> двенадцатого номера 1974 года 31 227. На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма. Е.В. Саллинен. Решение — в №6–1974 228. Лист клетчатой бумаги размером n × n раскрасили в n цветов (каждую клетку покрасили в один из этих цветов или не закрасили вообще). Правильной называем раскраску, при которой ни в одной строке и ни в одном столбце нет клеток одного цвета. Всегда ли можно <докрасить> весь лист правильным образом, если первоначально правильно закрашены а) n2 − 1 ; б) n2 − 2 ; в) n клеток? Д. Логачёв. Решение — в №6–1974 229. ∗ В центре квадрата находится полицейский, а в одной из вершин — гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер — только по сторонам. Максимальная скорость полицейского равна u, а гангстера — v. Цель полицейского — оказаться с гангстером на одной стороне квадрата. Докажите, что если а) 3u>v, то он может добиться своей цели; б) 3u<v, то гангстер может помешать ему это сделать. А. Белкин, Г.А. Гальперин и А.Б. Ходулёв. Решение — в №6–1974 230. Из любого выпуклого равностороннего (но не обязательно правильного) пятиугольника можно вырезать правильный треугольник, одна из сторон которого совпадает со стороной пятиугольника. Докажите это. С.В. Конягин и Н.Б. Васильев. Решение — в №6–1974 231. Решите в натуральных числах уравнение nx + ny = nz . Девятиклассник Р. Егорян. Решение — в №7–1974 232. ∗ а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это. б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости? П.С. Панков. Решение — в №7–1974 233. ∗ В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма — число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973? Г.А. Гальперин и Н.Б. Васильев. Решение — в №7–1974. Статья <Близкие дроби> восьмого номера 1975 года 234. Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам). Девятиклассник С.В. Конягин. Решение — в №7–1974 235. ∗ По арене круглого цирка радиусом 10 м бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма величин всех углов, на которые он поворачивал, не меньше 2998 радиан. И.Н. Бернштейн. Решение — в №7–1974 236. а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры. б) Даны натуральные числа k и n, причём 1 <k<n. Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m ладей можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били одна другую? А.Ю. Сойфер и С.Г. Слободник. Решение — в №8–1974 32 237. Величины углов остроугольного треугольника равны α, β и γ. Какие массы нужно поместить в его вершинах, чтобы центр тяжести этих трёх масс попал в а) ортоцентр (точку пересечения высот); б) центр описанной окружности? Длины сторон треугольника равны a, b и c. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжести попал в в) точку пересечения отрезков, соединяющих вершины и точки касания противоположных им сторон со вписанной окружностью; г) центр вписанной окружности? Б.Д. Гинзбург. Решение — в №8–1974 238. ∗ Для любого натурального числа n сумма чисел сочетаний из n по 1, по 3, по 5, ... , умноженных соответственно на 1, на 1973, на 19732 , ... , делится на 2n − 1 . Докажите это. Ф.Г.Шлейфер и Л.Г. Лиманов. Решение — в №8–1974 239. На плоскости даны две точки A и B. Пусть C — некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек A и B. Построим последовательность точек C1 = C, C2 , C3 , ... , Cn , Cn+1 , ... , где Cn+1 — центр описанной окружности треугольника ABCn . При каком положении точки C а) точка Cn попадёт в середину отрезка AB (при этом Cn+1 и дальнейшие члены последовательности не определены)? А при каком положении точки C точка Cn совпадает с C?
258. На плоскости даны три точки K, L, N. Про четырёхугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трёх его сторон лежат в данных точках K, L, N. Найдите множества точек, в которые может попасть: а) середина четвёртой стороны; б) вершина этого четырёхугольника. А.П. Савин. Решение — в №12–1974 259. Назовём квартетом четвёрку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными линиям сетки. (Например, на рисунке нарисованы три квартета.) Какое наибольшее число квартетов можно разместить в а) квадрате 5 × 5 ; б) прямоугольнике m × n клеток? Десятиклассник А.А. Григорян. Решение — в №12–1974 260. ∗ Окружность разбита точками A1 , A2 , ... , An на n равных дуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дуги A2A6 и A6A10 одинаково окрашены.) Докажите, что если для каждой точки разбиения Ak можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом Ak , то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай, когда красок всего две, скажем красная и чёрная. Г.А. Гуревич. Решение — в №12–1974 261. Обруч радиусом R, висевший на неподвижном круге радиусом r<R, начинают катить по этому кругу. Докажите, что точка обруча описывает ту же траекторию, которую описывала бы точка колеса радиусом R − r , катящегося снаружи по тому же кругу радиуса r . (Качение происходит без скольжения — так, что длины прокатившихся друг по другу дуг равны.) С.Г. Гиндикин и Н.Б. Васильев. Решение — в №1–1975 262. Какое наибольшее количество а) ладей; б) ферзей можно так расставить на шахматной доске, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных? В. и Л. Рабиновичи, Н.Б. Васильев. Решение — в №1–1975 263. Даны числа p и q, большие 1. На сторонах BC и CD прямоугольника ABCD возьмём точки P и Q так, что BC = p · BP и CD = q · DQ. При каком отношении длин сторон AB и AD угол PAQ будет иметь наибольшую величину? Какова эта наибольшая величина в частном случае p =2 и q = 3/2 ? Э.Г. Готман. Решение — в №1–1975 264. В городе одна синяя площадь и n зелёных, причём каждая зелёная площадь соединена улицами с синей и с двумя зелёными, как показано на рисунке. На каждой из 2n улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую площадь можно проехать и с каждой — уехать. Докажите, что с любой площади этого города можно, не нарушая правил, доехать до любой из остальных. Девятиклассник Б. Розенштейн и И.Н. Клумова. Решение — в №1–1975 36 265. Диагональ AC
прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами AB, AD и AA
углы BAC
, DAC
и A
AC
. Докажите, что сумма величин этих углов меньше 180◦ . М.Л. Гервер. Решение — в №1–1975 266. Дан выпуклый n-угольник. Докажите, что если для каждой тройки последовательных а) вершин n-угольника построить окружность, проходящую через эти вершины, и из n полученных окружностей выбрать ту, радиус которой наибольший, то весь данный n-угольник окажется внутри такой окружности; б) сторон n-угольника построить окружность, касающуюся этих сторон, и из n полученных окружностей выбрать такую, радиус которой наименьший, то она будет содержаться внутри данного n-угольника. А.В. Карзанов и Л.Г. Лиманов. Решение — в №1–1975 267. В последовательности троек целых чисел (2,3,5), (6,15,10), ... каждая следующая тройка получена из предыдущей таким образом: первое число умножили на второе, второе — на третье, а третье — на первое, и полученные произведения образовали новую тройку. Докажите, что ни одно из чисел, получаемых таким образом, не является ни квадратом, ни кубом, вообще никакой (отличной от первой) степенью натурального числа. Ф.А. Бартенев и И.Н. Клумова. Решение — в №1–1975 268. В углу доски n × n, где n > 3 , стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном), а второй — один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится поставить фигуру в противоположный угол, а второй ему мешает. Кто победит при правильной игре? Десятиклассник П. Кацыло (Москва) и И.Н. Клумова. Решение — в №2–1975 269. Обозначим через Tk(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. (Например, T2(4) = 1 · 2+1 · 3+1 · 4+2 · 3+2 · 4+3 · 4 .) а) Найдите формулы для T2(n) и T3(n) . б) Tk(n) является многочленом от n степени 2k. Д окажите это. в) Укажите метод нахождения многочленов Tk(n) при k = 2 , 3, 4, ... ; примените его для отыскания многочленов T4(n) и T5(n) . Э.А. Ясиновый. Решение — в №2–1975 270. Пусть АВ и СD — две хорды окружности, а точки K и H построены так, что углы KAB, KCD, HBA и HDC прямые. Докажите, что прямая KH проходит через центр окружности и точку пересечения прямых AD и BC. И.Ф.Шарыгин, А.И. Яновский и Н.Б. Васильев. Решение — в №2–1975 271. Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними? А.И. Плоткин. Всесоюзная олимпиада 1974 года. Решение — в №2–1975 272. Окружности радиусов r и R касаются внешним образом. Найдите наименьшую возможную длину боковой стороны трапеции, обе боковые стороны которой касаются обеих окружностей, а каждое из оснований касается одной из них. Е.В. Саллинен и Ю.И.Ионин. Всесоюзная олимпиада 1974 года. Решение — в №2–1975 273. На отрезке [0; 1] задана функция f . Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1 , а для любых двух неотрицательных чисел x1 и x2 , сумма которых не превосходит 1, величина f(x1 + x2) не превосходит суммы величин f(x1) и f(x2) . а) Для любого числа x отрезка [0; 1] докажите неравенство f(x) 2x. б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] обязательно верно неравенство f(x) 1, 9x?
274. Найдите наименьшее число вида а) |11k − 5n|; б) |36k − 5n|; в) |53k − 37n|, где k и n — натуральные числа. Ф.Г.Шлейфер и И.Н. Клумова. Всесоюзная олимпиада 1974 года. Решение — в №3–1975 275. ∗ а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1 , 2, ... , n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3. б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1. в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б). М.Л. Гервер. Всесоюзная олимпиада 1974 года. Решение — в №3–1975. Статья <От перемены мест слагаемых ... > 276. Дан квадрат ABCD. Точки Р и Q лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, причём BP = BQ. Пусть Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на отрезок РС. Докажите, что угол DНQ прямой. Н.Б. Васильев. Всесоюзная олимпиада 1974 года. Решение — в №3–1975 277. Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку <особой>, если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки. А.М.Штейнберг и И.Н. Клумова. Всесоюзная олимпиада 1974 года. Решение — в №3–1975. Статья Л.Д. Курляндчика и Д.В. Фомина <Этюды о полуинварианте> седьмого номера 1989 года 278. а) Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника больше 1. Обязательно ли длина хотя бы одной из диагоналей больше 2? б) В выпуклом шестиугольнике АВСDЕF длины диагоналей АD, ВЕ и СF больше 2. Обязательно ли длина хотя бы одной из сторон больше 1? Н.Х. Агаханов. Всесоюзная олимпиада 1974 года. Решение — в №3–1975 279. На n карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно 1 или −1 . За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех n чисел, если n > 3 и за один вопрос разрешено узнать произведение чисел на а) любых трёх карточках; б) любых трёх карточках, лежащих подряд? Ю.И.Ионин. Всесоюзная олимпиада 1974 года. Решение — в №3–1975 280. ∗ Точки A
, B
и C
— соответственно, середины сторон BC, AC и AB треугольника ABC, площадь которого равна 1. Точки K, L и M лежат на отрезках AB
, CA
и BC
соответственно. Какую минимальную площадь может иметь пересечение треугольников A
B
C
и KLM? Б.М. Ивлев. Всесоюзная олимпиада 1974 года. Решение — в №4–1975 281. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, длины всех диагоналей которого одинаковы? Г.А. Гальперин. Решение — в №4–1975 282. В клетках прямоугольной таблицы записаны натуральные числа. За один ход разрешено удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Докажите, что за несколько ходов можно добиться, чтобы все числа стали равны нулю. С.В. Конягин. Решение — в №4–1975 283. Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые ограничивают многоугольник, подобный исходному. Докажите, что в этот многоугольник можно вписать окружность. Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1975 38 284. ∗ Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100. С.В. Конягин. Решение — в №4–1975 285. ∗ Прямоугольный лист бумаги разрезан на прямоугольные полоски, у каждой из которых длина одной из сторон равна 1. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон листа бумаги — целое число. А.В. Климов и И.Н. Клумова. Решение — в №4–1975 286. На плоскости расположены n точек. Отметим все середины отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее количество точек плоскости могут оказаться отмеченными? А. Печковский и С.В. Конягин. Решение — в №5–1975 287. Существует ли такая последовательность натуральных чисел, что любое натуральное число представимо в виде разности двух чисел этой последовательности единственным образом? А. Лившиц и Л.Г. Лиманов. Решение — в №5–1975 288. На конгрессе собрались учёные, среди которых есть друзья. Никакие двое ученых, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что найдётся учёный, у которого ровно один друг. С.В. Конягин и С. Ландо. Решение — в №5–1975 289. N гирь, масса каждой из которых — целое число граммов, разложены на k равных по массе куч. Докажите, что можно не менее чем k разными способами убрать одну из гирь так, что оставшиеся (N − 1) гири уже нельзя будет разложить на k равных по массе куч. С.В. Конягин. Решение — в №5–1975 290. Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что любая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено? С.В. Конягин и С. Ландо. Решение — в №5–1975 291. На сторонах A2A3 , A3A1 и A1A2 треугольника A1A2A3 во внешнюю сторону построены квадраты с центрами O1 , O2 и O3 соответственно. Докажите, что а) отрезки O1O2 и A3O3 равны по длине и взаимно перпендикулярны; б) середины отрезков A3A1 , O1O2 , A3A2 и A3O3 являются вершинами квадрата; в) площадь этого квадрата в 8 раз меньше площади квадрата с центром O3 . В.М. Фишман. Статья <Решение задач с помощью геометрических преобразований> седьмого номера 1975 года 292. На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число — модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число? Ф.Г.Шлейфер. Решение — в №6–1975 293. Рассмотрим треугольник OC1C2 . Проведём в нём биссектрису C2C3 , затем в треугольнике OC2C3 проведём биссектрису C3C4 , и так далее. Докажите, что последовательность величин углов OCnCn+1 стремится к некоторому пределу; найдите этот предел, если C1OC2 = α. Д
301. На плоскости заданы 2n точек — синих и красных, причём никакие три точки не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков так, что у каждого отрезка один конец — синяя точка, другой — красная, и никакие два отрезка не пересекаются. Десятиклассник С. Охитин (Оренбург), А.Л. Тоом и Н.Б. Васильев. Решение — в №8–1975. Статья Л.Д. Курляндчика и Д.В. Фомина <Этюды о полуинварианте> седьмого номера 1989 года 302. O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями AB и CD, а точки A
и B
симметричны соответственно точкам A и B относительно биссектрисы угла AOB. Докажите равенство углов ACA
и BDB
. Десятиклассник А. Буяновский (Гомель). Решение — в №8–1975 303. Прямоугольник размером 300 × 1000 разрезан на квадраты 1 × 1 , и в некоторых 30 вершинах квадратов помещены одинаковые гирьки. Докажите, что можно выбрать две непересекающиеся группы гирек — не более чем по 10 в каждой — так, что их центры тяжести совпадут.
310. Для любого натурального числа n среди n-значных чисел существует более 8n таких, в десятичной записи которых никакая группа цифр (в частности, никакая цифра) не встречается два раза подряд. Докажите это. Г.А. Гуревич. Статья <Бесповторные последовательности> девятого номера 1975 года 311. Из одной бактерии получилось 1000 следующим образом: вначале бактерия разделилась на две, затем одна из двух получившихся бактерий разделилась на две, затем одна из трёх получившихся бактерий разделилась на две и так далее. Докажите, что в некоторый момент существовала такая бактерия, число потомков которой среди 1000 бактерий, получившихся в конце, заключено между 334 и 667. Д.Ю. Григорьев. Решение — в №10–1975 312. В параллелограмм вписан параллелограмм, в который вписан другой параллелограмм, причём стороны третьего параллелограмма соответственно параллельны сторонам первого. Докажите, что длина хотя бы одной стороны третьего параллелограмма не меньше половины длины соответствующей стороны первого. А.А. Григорян. Решение — в №10–1975 313. Рассмотрим множество четвёртых вершин параллелограммов ONML, вершины N и L которых лежат на сторонах данного угла с вершиной O, а площадь равна данной величине. (Это множество называют гиперболой.) Докажите, что на биссектрисе этого угла и на её продолжении существуют такие точки F1 и F2 , что разность расстояний F1M и F2M одна и та же для всех точек M. Можно доказать, что F1O = OF2 и существуют перпендикулярные биссектрисе данного угла такие прямые d1 и d2 (директрисы гиперболы), что отношение длины отрезка F1M (или F2M) к расстоянию от точки M до прямой d1 (соответственно, d2 ) одно и то же для всех точек M. И.Н. Бронштейн. Решение — в №10–1975. Статья <Гипербола> третьего номера 1975 года 314. Среди всех 9-значных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 0, найдите такое, для которого разность между самим числом и произведением его цифр а) наименьшая; б) наибольшая. Каков ответ для n-значных чисел при любом n? А.Г. Лейдерман и И.Н. Клумова. Решение — в №11–1975 42 315. На каждом ребре выпуклого многогранника поставлена стрелка так, что в каждую вершину многогранника входит и из каждой выходит хотя бы одна стрелка. Докажите, что существуют по крайней мере две грани многогранника, каждую из которых можно обойти по периметру, двигаясь в соответствии с направлениями стрелок на её сторонах. А.М. Зубков. Решение — в №10–1975 316. а) Сумма квадратов k последовательных натуральных чисел не может быть квадратом целого числа, если k равно 3, 5, 7 или 9. Докажите это. б) Придумайте 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат целого числа. Э.Г. Готман. Решение — в №11–1975 317. ∗ На некоторой планете каждая страна граничит не более чем с 7 другими. В каждой стране имеется запас золота. Требуется распределить золото так, чтобы каждые две страны, граничащие друг с другом, отличались по количеству золота не более чем в 13 раз. Докажите, что распределение золота можно организовать так, чтобы каждая страна лишилась не более половины имевшегося у неё золота. Г.В. Егоров. Решение — в №11–1975 318. AD и CE — биссектрисы треугольника ABC. Докажите, что CE · AB = AD · BC тогда и только тогда, когда AB = BC или ABC = 60◦ . А.П. Савин. Решение — в №12–1975 319. Точка P лежит внутри данной окружности. Рассмотрим тетраэдры ABCD, у каждого из которых все грани конгруэнтны, причём треугольник ABC вписан в данную окружность, а его медианы пересекаются в данной точке P. а) При каком положении точки P внутри окружности такие тетраэдры существуют? б) Вершина D любого такого тетраэдра расположена в одной из двух фиксированных точек пространства (симметричных относительно данной плоскости). Докажите это. И.Ф.Шарыгин и Н.Б. Васильев. Решение — в №12–1975 320. ∗ Какие выпуклые n-угольники можно разбить на треугольники так, чтобы никакие два из треугольников разбиения не имели общих (полностью совпадающих) сторон? (На рисунке показано, что треугольник так разбить можно.) А. Печковский. Решение — в №12–1975 321. Для любого прямоугольного стола и для любого положительного числа ε можно указать такую систему покрывающих этот стол прямоугольных салфеток, края которых параллельны краям стола, что любая её подсистема, состоящая из неперекрывающихся салфеток, имеет площадь, меньшую ε. Д окажите это. А.В. Браилов. Решение — в №1–1976. Статья <О задаче Радо> восьмого номера 1975 года 322. а) Фигура, состоящая более, чем из одной точки, является пересечением n кругов. Докажите, что граница этой фигуры представима в виде объединения 2n − 2 дуг окружностей. б) В алфавите n букв. Несколько букв выписано по окружности так, что никакая буква не встречается два раза подряд и для любых двух различных букв a и b можно провести прямую так, что все буквы a будут по одну сторону от прямой, а буквы b — по другую. Докажите, что выписано не более 2n − 2 букв. С.В. Фомин. Решение — в №1–1976 323. ∗ Любую функцию, определённую на всей числовой прямой, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которых имеет центр симметрии. Докажите это. В.А. Сергеев. Решение — в №1–1976 43 324. Имеется несколько куч камней. Двое играют в игру, ход которой состоит в том, что игрок разбивает каждую кучу, состоящую более чем из одного камня, на две меньшие кучи. Ходы делают поочередно, пока во всех кучках не останется по одному камню. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. Научите начинающего выигрывать, если сначала в каждой кучке было от 80 до 120 камней.
329. Среди вершин любого выпуклого n-угольника, расположенного внутри квадрата со стороной 1, обязательно есть такие три вершины, что площадь треугольника с вершинами в них меньше числа 8/n2 . Д окажите это. 330. На плоскости расположены выпуклые n0 -угольник M0 и n1 -угольник M1 . Обозначим буквой M множество середин отрезков, один конец каждого из которых 44 принадлежит M0 , а другой — M1 . Докажите, что M — выпуклый многоугольник. а) Сколько сторон может иметь M? б) Каким может быть периметр многоугольника M, если периметр M0 равен P0 , а периметр M1 равен P1 ? в*) Какой может быть площадь многоугольника M, если площадь M0 равна S0 , а площадь M1 равна S1 ? Н.Б. Васильев. Статья <Сложение фигур> четвёртого номера 1976 года 331. а) Треугольник A
получен из треугольника ABC поворотом вокруг центра описанной окружности на некоторый угол, меньший 180◦ . Докажите, что точки пересечения прямых AB, BC и CA с, соответственно, прямыми A
A
являются вершинами треугольника, подобного треугольнику ABC. б) Четырёхугольник A
D
получен из вписанного в окружность четырёхугольника ABCD поворотом вокруг центра окружности на угол, меньший 180◦ . Докажите, что точки пересечения соответствующих прямых: AB и A
, BC и B
, CD и C
, DA и D
— являются вершинами параллелограмма. З.А. Скопец. Всесоюзная олимпиада 1975 года. Решение — в №3–1976 332. При каких k можно составить куб с ребром k из белых и чёрных единичных кубиков так, чтобы для каждого кубика ровно два из его соседей были бы того же цвета, что и сам кубик? (Два кубика считаем соседними, если они имеют общую грань.) А.Г. Гейн. Всесоюзная олимпиада 1975 года. Решение — в №3–1976 333. Три мухи ползают по сторонам треугольника АВС так, что центр тяжести образуемого ими треугольника остаётся на одном месте. Докажите, что он совпадаёт с центром тяжести треугольника АВС, если известно, что одна из мух проползла по всей границе треугольника. Центр тяжести треугольника — это точка пересечения его медиан. С.В. Фомин. Всесоюзная олимпиада 1975 года. Решение — в №3–1976 334. Коэффициенты многочлена P а) натуральные; б*) целые. Для каждого натурального числа n обозначим сумму цифр десятичной записи числа |P(n)| через an . Докажите существование числа, которое встречается в последовательности a1 , a2 , a3 , ... бесконечно много раз. И.Н. Бернштейн. Всесоюзная олимпиада 1975 года. Решение — в №3–1976 335. ∗ а) В квадрате размером 7×7 клеток отмечены центры k клеток. При этом никакие четыре отмеченные точки не являются вершинами прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам квадрата. При каком наибольшем k это возможно? б) Решите ту же задачу для квадрата размером 13 × 13 клеток. С.Б. Гашков, А.А. Григорян и Э. Белага. Всесоюзная олимпиада 1975 года. Решение — в №3–1976 336. На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников. С.В. Фомин. Всесоюзная олимпиада 1975 года. Решение — в №4–1976 337. Дан равносторонний треугольник АВС со стороной 1. Первый игрок выбирает точку Х на стороне АВ, второй — точку Y на стороне ВС, затем первый — точку Z на стороне AC. а) Цель первого игрока — получить треугольник XYZ как можно большей площади, второго — как можно меньшей площади. Какую наибольшую площадь может обеспечить первый? б) Цель первого игрока — получить треугольник XYZ как можно меньшего периметра, второго — как можно большего периметра. Какой наименьший периметр может обеспечить первый? М.Д. Бронштейн. Всесоюзная олимпиада 1975 года. Решение — в №4–1976 45 338. На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешено стереть две неравные цифры и вместо них написать одну цифру, отличную от стёртых (2 вместо 0 и 1, 1 вместо 0 и 2, 0 вместо 1 и 2). Докажите, что если в результате нескольких таких операций на доске останется одна-единственная цифра, то она не зависит от порядка, в котором производились стирания.
341. В чемпионате мира участвуют 20 команд. Среди них k европейских команд, результаты встреч между которыми на чемпионате мира идут в зачёт чемпионата Европы. Чемпионат проводится в один круг. При каком наибольшем k может оказаться, что европейская команда, набравшая строго наибольшее количество очков в чемпионате Европы, наберёт строго наименьшее количество очков в чемпионате мира, если это чемпионат по а) хоккею (допускаются ничьи); б*) волейболу (ничьих не бывает)? Какими будут ответы на эти вопросы, если команд не 20, а n?
344. На шахматной доске отмечены центры всех 64 полей. Можно ли провести на доске 13 прямых так, чтобы в каждой из частей, на которые эти прямые делят доску, оказалось не более одной отмеченной точки? (Прямые не должны проходить через центры полей.) А.Н.Печковский и Ю. Лысов. Решение — в №6–1976 345. В последовательности 197523 ... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретятся ли в этой последовательности подряд а) четыре цифры 1, 2, 3, 4; б) вторично цифры 1, 9, 7, 5; в) цифры 8, 1, 9, 7? Г.А. Гуревич. Решение — в №6–1976 A B D K C L 346. Точка K — середина стороны AB квадрата ABCD, а точка L делит диагональ AC в отношении 3 : 1 . Докажите, что угол KLD прямой. Десятиклассник Ю.Г. Богатуров (Кутаиси) и Л. Лиманов. Решение — в №6–1976 347. Играют двое. Первый загадывает два числа от 1 до 25, а второй должен их угадать. Он может назвать любые два числа от 1 до 25 и узнать у первого, сколько из названных им чисел — 0, 1 или 2 — совпадают с загаданными. За какое минимальное число вопросов он сможет наверняка определить загаданные числа? А.А. Григорян и Ю. Лысов. Решение — в №6–1976 348. В таблицу размером 10 × 10 записаны числа от 1 до 100 по порядку. Затем в каждой строке и в каждом столбце ровно у половины чисел поставлен знак минус. Докажите, что сумма чисел полученной таблицы равна нулю. С.М. Агеев и Н.Б. Васильев. Решение — в №6–1976 349. Какому условию должны удовлетворять длины сторон треугольника, чтобы треугольник, составленный из а) высот; б) медиан; в) биссектрис данного треугольника, был подобен данному? А.П. Савин и И. Клумова. Решение — в №6–1976 350. ∗ С белого углового поля шахматной доски размера n × m (числа n и m больше 1) начинает двигаться слон. Дойдя до края доски, слон поворачивает под прямым углом. Попав в угол, он останавливается. а) При каких n и m слон обойдёт все белые поля доски? б) Сколько всего полей он обойдёт на доске n × m? Рассмотрите в качестве примеров доски размерами 10 × 15 , 10 × 25 и 15 × 25 . Е.Я. Гик и А.Б.Жорницкий. Решение — в №6–1976 351. Восстановите треугольник, если на плоскости отмечены три точки: O — центр описанной окружности, Р — центр тяжести, Н — основание одной из высот этого треугольника.
1. Сначала на клетчатой бумаге выделяют прямоугольник размером m × n клеток. Играют двое; ходят по очереди. Каждым ходом игрок вычёркивает все клетки какого-то горизонтального или вертикального ряда, в котором ещё остались невычеркнутые клетки. Победитель — тот, кто сделал последний ход. Кто может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр? (Ответ, конечно, зависит от m и n). А. Бернард, А. Фельштын, А. Ткачёв и А.П. Савин. Решение — в №9–1976 362. Поделим каждую сторону выпуклого четырёхугольника ABCD на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах. Докажите, что площадь <среднего> четырёхугольника в 9 раз меньше площади четырёхугольника ABCD.
379. ∗ На каждом из нескольких кусков бумаги произвольной формы поставлена клякса (произвольной формы). Назовём промокашку подходящей для данного куска, если её можно разместить внутри этого куска так, что она закроет кляксу. Пусть набор промокашек, имеющих форму кругов разных радиусов, обладает таким свойством: для любых двух данных кусков есть промокашка, подходящая для каждого из них. Докажите, что тогда в этом наборе есть одна промокашка, подходящая для всех кусков. В.В. Произволов. Решение — в №1–1977 380. ∗ а) На плоскости дана выпуклая фигура и внутри неё — точка O. К каждой прямой l, проходящей через точку О, проведём перпендикуляр в точке О и на нём по обе стороны от точки О отложим два равных отрезка, длины которых равны длине отрезка, получающегося при пересечении данной фигуры с прямой l. 50 Объединение всех этих отрезков — новая фигура с центром симметрии О. Будет ли полученная фигура выпуклой? б) В пространстве дано выпуклое центрально-симметричное тело с центром O. К каждой плоскости α, проходящей через точку O, проведём перпендикуляр в точке O и на нём по обе стороны от точки O отложим два отрезка, длины которых равны площади сечения данного тела плоскостью α. Объединение всех этих отрезков — новое тело с тем же центром симметрии О. Докажите, что полученное тело тоже выпуклое. С. Пухов. Статья <Задача о выпуклых телах> второго номера 1977 года 381. 6 активистов класса образовали 30 различных комиссий. Каждые две комиссии отличаются составом, но обязательно <пересекаются>, то есть имеют хотя бы одного общего члена. Докажите, что можно образовать ещё одну комиссию, пересекающуюся с каждой из этих 30 комиссий. С.В. Фомин. Решение — в №1–1977 382. Если старший коэффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1 и ни одно из его значений в нескольких последовательных целых точках не делится на количество этих целых точек, то многочлен не имеет ни одного рационального корня. Докажите это. Т. Райков. Решение — в №1–1977 383. Если произведение двух натуральных чисел чётно, то сумму их квадратов можно представить в виде разности квадратов натуральных чисел, а если нечётно, то нельзя. Докажите это.
386. Квадратная комната разгорожена перегородками на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты — целое число. Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4. С.В. Фомин. Московская олимпиада 1976 года. Решение — в №2–1977 387. ∗ Существует ли такое натуральное число, что если приписать его само к себе, то получится точный квадрат? Б. Кукушкин. Московская олимпиада 1976 года. Решение — в №2–1977 388. а) На плоскости отмечено конечное число точек. Докажите, что среди них найдётся точка, у которой не более трёх ближайших (то есть находящихся на наименьшем от неё расстоянии; таких точек, вообще говоря, может быть несколько). б) Существует ли на плоскости конечное множество точек, у каждой из которых в этом множестве ровно три ближайших? А. Карабегов. Московская олимпиада 1976 года. Решение — в №2–1977 389. Можно ли бесконечный лист клетчатой бумаги разбить на <доминошки> (каждая доминошка покрывает две клетки) так, чтобы каждая прямая, идущая по линии сетки, разрезала пополам лишь конечное число доминошек? С.В. Фомин. Московская олимпиада 1976 года. Решение — в №2–1977 390. ∗ Существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что сумма цифр десятичной записи числа 2n больше суммы цифр десятичной записи числа 2n+1 . Докажите это. С.В. Конягин. Московская олимпиада 1976 года. Решение — в №2–1977 391. В последовательности x0 , x1 , x2 , ... числа x0 и x1 — натуральные и меньшие 1000, а каждое следующее число равно абсолятной величине разности двух предыдущих. Докажите, что хотя бы один из первых 1500 членов последовательности равен 0. б) В последовательности y0 , y1 , y2 , ... числа y0 и y1 — натуральные и меньшие 10 000, а каждый следующий член равен наименьшей из абсолютных величин разностей некоторых двух предыдущих чисел. Докажите равенство x20 = 0. С.В. Фомин. Всесоюзная олимпиада 1976 года. Решение — в №3–1977 392. По трём прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.
411. Три отрезка с концами на сторонах треугольника, параллельные его сторонам, проходят через одну точку и имеют одинаковую длину х. Выразите х через длины a, b и c сторон треугольника. А.А. Ягубьянц. Решение — в №7–1977 412. В городе на каждую площадь выходит не менее трёх улиц. На всех улицах введено одностороннее движение так, что с любой площади можно проехать на любую другую. Докажите, что можно запретить движение по одной из улиц (на участке между двумя площадями) так, что по-прежнему с любой площади можно будет проехать на другую.
445. Центры одинаковых непересекающихся окружностей находятся в центрах правильных шестиугольников, покрывающих плоскость так, как показано на рисунке. Пусть M — многоугольник с вершинами в центрах окружностей. Окрасим те окружности или их дуги, которые лежат внутри M, как показано на рисунке. Докажите, что сумма величин окрашенных дуг равна n·180◦ , где n — натуральное число, и дайте этому геометрическую интерпретацию. А.Б. Сосинский и И. Клумова. Решение — в №3–1978. Чертёж — на странице 32 четвёртого номера 1978 года 446. Окружность радиуса 1 катится снаружи по окружности длины √ 2 . В начальный момент времени точка касания окружностей отмечена липкой красной краской. При качении любая покрашенная точка красит любую точку, с которой соприкасается. Сколько разных точек неподвижной окружности будут запачканы к тому моменту, когда подвижная окружность сделает 100 оборотов вокруг неподвижной? Д.Н. Бернштейн и Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1978 447. ∗ В остроугольном треугольнике ABC отрезки BO и CO, где O — центр описанной окружности, продолжены до пересечения в точках D и E со сторонами AC и BC. Найдите величины углов треугольника ABC и докажите равенства AE = ED, CE = = CB и CD = CO, если BDE = 50◦ и CED = 30◦ . Я.Н. Суконник и Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1978 448. ∗ Центр любого эллипса, вписанного в данный четырёхугольник, лежит на прямой, проходящей через середины диагоналей этого четырёхугольника. Докажите это. Исаак Ньютон и Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1978 449. а) По одной прямой двигаются n одинаковых шариков. Какое максимальное число соударений между ними может произойти? б*) Тот же вопрос для трёх шариков массами m1 , m2 и m3 . в*) Если по одной прямой двигаются n различных шариков, то общее число столкновений между ними конечно. Докажите это. В этих задачах шарики — это материальные точки, сталкивающиеся друг с другом абсолютно упруго, то есть с сохранением суммарных импульса и энергии, причём предполагаем, что все происходящие столкновения — только парные: три или более шарика в одной точке одновременно не оказываются. А.Н. Земляков и Я. Синай. Решение — в №4–1978 450. Система прямоугольников из n этажей построена следующим образом. Начиная с нижнего прямоугольника, образующего первый этаж, верхнюю сторону каждого прямоугольника делим в отношении 1 : 2 : 3 ; на трёх полученных отрезках как на основаниях строим прямоугольники той же высоты, что и первоначальный, и так — до самого верхнего этажа. Из полученного множества прямоугольников выбрано некоторое подмножество, состоящее из попарно неравных прямоугольников (одно такое подмножество на рисунке выделено). Докажите существование вертикальной прямой, пересекающей не более двух из выбранных прямоугольников. А. Клепцын. Решение — в №5–1978 451. На плоскости отмечено несколько точек, не лежащих на одной прямой, и около каждой написано число. Для любой прямой, проходящей через две или более отмеченные точки, сумма всех чисел, написанных около этих точек, равна 0. Докажите, что все числа равны 0. Ф.В. Вайнштейн. Решение — в №5–1978 61 452. В окружность вписаны треугольники T1 и T2 , причём вершины треугольника T2 являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника T1 . Докажите, что диагонали шестиугольника T1 ∩ T2 , соединяющие его противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника T1 и пересекаются в одной точке. Н.Ю.Нецветаев. Решение — в №5–1978 453. ∗ Дано множество положительных чисел {a1, a2,... ,an}. Для каждого его непустого подмножества выпишем сумму его элементов. Докажите, что все 2n − 1 выписанных сумм можно так разбить на n множеств, что в каждом из них отношение наибольшего числа к наименьшему не превзойдёт числа 2. XI Всесоюзная олимпиада, 8 класс, 1977 год. Решение — в №5–1978 454. За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает всё своё молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и так далее. После того как седьмой гном разлил всем остальным своё молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе молока 3 литра. Сколько молока было первоначально в каждой кружке? В.Л. Гутенмахер и Н.Б. Васильев. Решение — в №5–1978 455. Мы будем рассматривать многочлены от одной переменной со старшим коэффициентом 1. Будем говорить, что два таких многочлена P и Q коммутируют, если многочлены P(Q(х)) и Q(Р(х)) тождественно равны (то есть после раскрытия скобок и приведения к стандартному виду соответствующие коэффициенты этих многочленов совпадают). а) Для любого числа α найдите все многочлены степени не выше третьей, коммутирующие с многочленом x2 − α. б) Пусть P — многочлен степени 2, k — натуральное число. Докажите, что существует не более одного многочлена степени k, коммутирующего с P. в) Найдите все многочлены степени 4 или 8, коммутирующие с данным многочленом P степени 2. г) Если два многочлена коммутируют с одним и тем же многочленом второй степени, то они коммутируют между собой. Докажите это. д) Существует бесконечная последовательность многочленов P1 , P2 , P3 , ... , каждые два члена которой коммутируют, а P2(x) = x2 − 2 . Д окажите это. И.Н. Бернштейн и Э. Туркевич. Статья И. Янтарова <Коммутирующие многочлены> четвёртого номера 1979 года 456. В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся 3 ребра, а каждая его грань является многоугольником, вокруг которого можно описать окружность. Докажите, что вокруг этого многогранника можно описать сферу. В.В. Произволов и И.Н. Бернштейн. Решение — в №6–1978 457. На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особенной, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особенных пар чётно. С.В. Фомин. Всесоюзная олимпиада. Решение — в №6–1978 458. Напишем многочлен десятой степени, старший коэффициент которого равен 1, как и его свободный член. Остальные 9 коэффициентов этого многочлена заменим на звёздочки. Пусть теперь двое играют в такую игру. Сначала первый заменяет одну из звёздочек некоторым числом, затем второй заменяет числом любую 62 из оставшихся звёздочек, затем снова первый заменяет одну из звёздочек числом и так далее (всего 9 ходов). Если у полученного многочлена не будет действительных корней, то выигрывает первый игрок, а если будет хотя бы один корень — выигрывает второй. Может ли второй игрок выиграть при любой игре первого? Д.Н. Бернштейн и И.Н. Бернштейн. Всесоюзная олимпиада. Решение — в №6–1978 459. ∗ В некоторой стране из каждого города в другой можно проехать, минуя остальные города. Известна стоимость каждого такого проезда. Составлены два маршрута поездок по городам страны. В каждый из этих маршрутов каждый город входит ровно по одному разу. При составлении первого маршрута руководствовались следующим принципом: начальный пункт маршрута выбрали произвольно, а на каждом следующем шаге среди городов, через которые маршрут ещё не прошёл, выбирали тот, поездка в который из предыдущего города имеет наименьшую стоимость (если таких городов несколько, то выбирали любой из них), и так до тех пор, пока не пройдены все города. При составлении второго маршрута начальный город тоже выбрали произвольно, а на каждом следующем шаге среди городов, через которые маршрут ещё не прошёл, выбирали тот, поездка в который из предыдущего города имеет наибольшую стоимость. Докажите, что общая стоимость проезда по первому маршруту не больше общей стоимости проезда по второму маршруту. А.А. Берзиньш. Всесоюзная олимпиада. Решение — в №6–1978 460. Пусть А — 2n-значное число (первая цифра не нуль). Будем называть число А особым, если как оно само, так и числа, образованные его первыми n цифрами и его последними n цифрами, являются квадратами целых чисел; при этом второе число может начинаться с цифры 0, но не должно быть равно нулю. а) Найдите все двузначные и четырёхзначные особые числа. б) 20-значное особое число существует. Докажите это. в) Существует не более 10 особых 100-значных чисел. Докажите это. г) 30-значное особое число существует. Докажите это. А. Лёвин и И.Н. Бернштейн. Всесоюзная олимпиада. Решение — в №6–1978 461. На столе стоят чашечные весы и n гирь различных масс. Гири по очереди ставим на чашки весов (на каждом шаге со стола берём любую гирю и добавляем на ту или другую чашку весов). а) Докажите, что гири можно ставить в таком порядке, чтобы сначала перевесила левая чашка, затем правая, потом снова левая, снова правая и так далее. Последовательности результатов взвешиваний сопоставим слово из букв L и R, где буква L означает, что перевесила левая (left) чашка, а R — что перевесила правая (right). б*) Для любого слова длины n из букв L и R можно в таком порядке ставить гири на чашки весов, чтобы это слово соответствовало последовательности результатов взвешиваний. Докажите это.