Простая арифметика
82 – 83, а также 6A1, 6A2, 6A3, 6Д1, 6К3
82.;(6-7);Робин-Бобин Барабек ограбил 40 человек. Каждый раз (не исключая последнего) он действовал по такой схеме: отбирал у очередной жертвы 6 пончиков, затем делил все имеющиеся к этому моменту пончики на равные кучки и одну из кучек съедал. Известно, что,ограбив последнего, он разделил пончики на 6 кучек, а в съеденной им кучке оказалось 6 пончиков. Сколько всего пончиков съел Робин, если до начала серии ограблений пончиков у него не было? (А. Шаповалов)
83. (6);Раньше у школы проходили два автобусных маршрута. Автобусы маршрута №1 ходили каждые 10 минут, а маршрута №2 – каждые 15 минут. Теперь здесь проходит только маршрут № 3, но общее количество автобусов за день такое же, как и раньше. Интервалы между рейсами весь день одинаковые. Чему они равны? (Б. Френкин)
Делимость и остатки
84 – 97, а также 7А3, 7Ц1, 7Ц4, 7Ц5, 7КГ2, 7КГ4, 8Ар1, 8Ар4, 8Ал2, 8Ал3, 8Т4, 7, 11, 31, 43, 51, 52, 53, 59, 61, 69, 70, 72, 73, 75, 99, 100, 101, 113, 115, 123
84. (6-7);В некотором году было больше вторников, чем понедельников, и больше сред, чем четвергов. Каким днём недели был последний день февраля? (Б. Френкин)
85. (6-7);Винни-Пуху подарили 40 конфет. Он съел, сколько влезло, а остальными хотел угостить поровну трёх гостей. Но тут пришел четвертый гость. Пришлось хозяину съесть еще 3 конфеты, чтобы количество оставшихся делилось на 4. Когда пришел пятый гость, пришлось съесть еще 4 конфеты, чтобы количество оставшихся делилось на 5. И тут пришел шестой гость. Сколько конфет придется съесть на этот раз, чтобы оставшиеся поделить поровну на шестерых? (И. Раскина)
86. (6-7);Даны три попарно различных целых числа. Одно из них равно сумме двух остальных, а другое – произведению двух остальных. Какие это могут быть числа? (Б. Френкин)
87.;(8);У Ёжика и Лисы есть кусочек сыра весом в целое число граммов. Они играют в шахматы. Если выигрывает Ёжик, то он съедает 4 грамма, если выигрывает Лиса, то она съедает четверть оставшегося сыра. После нескольких игр Лиса и Ёжик съели поровну сыра и одержали поровну побед. Сколько граммов сыра осталось? (Т. Голенищева-Кутузова, А. Хачатурян)
88.;(7-8);Буратино взялся вскопать Поле Чудес. Лиса Алиса обещала каждый день выдавать ему простое число золотых монет. В первые два дня он может сам выбрать эти простые числа, а с третьего дня его заработок должен быть равен сумме позавчерашнего и удвоенного вчерашнего. Какое наибольшее число дней Буратино может рассчитывать на зарплату? (А. Грибалко)
89. (7);Сумма трех различных положительных нечетных чисел равна 89. Известно, что в каждой паре этих чисел одно из них делится на другое. Найдите эти числа. (А. Шаповалов)
90.;а) (6-7);Петя задумал однозначное число. Вася может назвать свое число и спросить, чему равен наибольший общий делитель двух этих чисел. Может ли он подобрать такое число, чтобы по ответу наверняка узнать Петино число?
б) (6-7);Петя задумал однозначное число. Вася может назвать свое число и спросить, чему равен наибольший общий делитель двух этих чисел. Какое наименьшее число должен он назвать, чтобы по ответу наверняка узнать Петино число?
в) (7-8);Петя задумал натуральное число;;K;£;2011.; Вася может один раз выбрать число;N;и спросить, чему равен НОД(N,;K). При каком наименьшем;N;он может по ответу наверняка узнать;K?; (А. Шаповалов)
91.;(8);Можно ли разбить все натуральные числа от 1 до 2009 на две группы так, чтобы сумма чисел в одной группе равнялась произведению чисел в другой группе? (А. Шаповалов)
92. (8);Известно, что;a,;b;и;c;простые, не обязательно различные числа. Докажите, что число;;; либо составное, либо оканчивается на 7. (Г. Жуков)
93. (7-8);Числа;x,;y;положительные, не целые и различные. Среди четырех чисел;;x;+;y,;;x;–;y,;;xy,;;x/y; ровно три целых. Сколько четных среди этих трех чисел? (Б. Френкин)
94. (8) Найдите все такие натуральные числа;a,;b;и;c, что;;a;<;b,;;a;+;b =;c; и;
a3;+;b3;=;c2.; (Б.;Френкин)
95.;(7-8) Можно ли все натуральные числа от 1 до 200 выписать по кругу так, чтобы для каждых двух соседних чисел хотя бы одно отличалось от другого на целое число процентов? (И. Акулич)
96.;(8);Пусть;j(n) – количество чисел от 1 до;n,;взаимно;простых с;n, a;t(n) – количество делителей числа;n.;Найдите;все;такие;n,;что;сумма;j(n) и;t(n);равна;n.; (Г. Жуков)
97*.;(7-9);Натуральное число;N;равно произведению первых;k;простых чисел. Докажите, что любое натуральное число, меньшее;N;может быть представлено как сумма нескольких различных натуральных делителей;N. (К. Матвеев)
Цифры
98 – 103, а также 6A4, 7К3, 7Ц3, 7Ц5, 8Ар3, 8Ар5
98.;(6-7) У двух восьмизначных чисел произведения цифр положительны и равны. В каждом из чисел все цифры различны. Докажите, что у этих чисел равны и суммы цифр. (А. Шаповалов)
99. (7-8) Известно, что;кратно;. Обязательно ли количество цифр первого числа делится на количество цифр второго? (Б. Френкин)
100.;(6-8);Произведение двух последовательных натуральных чисел может оканчиваться на 1000. Например,; 1000×1001 = 1001000; или
8999×9000 = 8999×9×1000 = ...1000.
а) Может ли произведение четырех последовательных натуральных чисел оканчиваться на 1000?
б) Может ли произведение шести последовательных натуральных чисел оканчиваться на 1000? (Д. Шноль)
101.;(7-8);Найдите наименьшее натуральное число, записываемое одинаковыми цифрами и делящееся на 2009. (С. Токарев)
102.;(7-8) В записи точного квадрата;;а) ровно 100 цифр;;;б) ровно миллион цифр.
Может ли четных и нечетных цифр быть поровну? (А. Шаповалов)
103. (7-9) В точном квадрате – более миллиона цифр. Каково наименьшее количество четных цифр? (А. Шаповалов)
Дроби
104 – 109, а также 13, 15
104.;(6) Эники-Бэники ели вареники. Каждый съел меньше трети, но больше пятой части того, что съели остальные. Сколько было Эников-Бэников? (Фольклор)
105.;(6-7) Девять голодных пионерок за час набирают корзину клубники и наедаются досыта. Сытые пионерки клубнику не едят, поэтому набирают корзину за час вшестером. Сколько голодных пионерок можно накормить досыта корзиной клубники? (И. Раскина)
106.;(6-7) Было несколько бревен различной длины. Все бревна длины более 1 м;распилили на метровые чурбаки, при этом от бревен дробной длины (в метрах) остались обрезки. Бревна, которые не пилили, тоже рассортировали на чурбаки и обрезки. Оказалось, что суммарная длина всех обрезков равна суммарной длине всех чурбаков. Каких бревен было больше – целой или дробной длины? (Б. Френкин)
107.;(6-7) Даны две обыкновенные несократимые дроби. У первой сумма числителя и знаменателя равна 125, у второй такая сумма равна 200. Может ли сумма этих двух дробей быть равна;17/20? (А. Шаповалов)
108.;(6-8) На доске написаны дроби;1/3,;1/5,;1/7, ...,;1/2011. Можно ли выбрать из них семь дробей так, чтобы сумма каких-то четырех из них равнялась сумме оставшихся трех? (А. Шаповалов)
109.;(6-7) Положительное число округлили до ближайшего целого, и получили число, которое больше исходного на 28%. Чему могло быть равно исходное число? (А.Шаповалов)
Текстовые;задачи
110 – 114, а также 7А4, 7А5
110.;(6-7) Большая свеча сгорает за час и стоит 6 рублей, а маленькая сгорает за 11 минут и стоит 1 руб. 10 коп. Можно ли отмерить минуту, затратив не более 30 рублей?;(Уральский турнир)
111.;(6-7) Артём, в силу природной лени, обычно делает работу за 6 часов. Но если он выпьет квасу, то выполняет работу за 3 часа. Артём начал выполнять работу в полдень, но в какой-то момент ему принесли квас, поэтому он закончил работу за 4 часа. В котором часу Артёму принесли квас? (В. Трушков, И. Руденко)
112.;(6-7);Из пунктов;А;и;B;навстречу друг другу одновременно выезжают велосипедисты Алёша и Боря с одинаковыми постоянными скоростями. Через некоторое время из пункта;А;в пункт;B;на автомобиле с постоянной скоростью выезжает Вася. Через 20 минут он догоняет Алёшу, еще через 20 минут встречает Борю, а еще через 25 минут приезжает в пункт;B. Во сколько раз скорость автомобиля превышает скорость велосипедистов? (Б. Френкин)
113. (7-8) У троих братьев Антона, Бори и Васи дни рождения совпадают. Оказалось, что когда;Антону;исполнится;N;лет, сумма возрастов двух других братьев разделится на;N;без остатка. То же самое случится, когда;N;лет исполнится Боре. Докажите, что так же будет, когда;N;лет исполнится Васе. (А. Шаповалов)
114*. (7-9) Дорожки парка идут по периметрам двух квадратных газонов с одной общей стороной-дорожкой. По дорожкам гуляют с постоянными скоростями Холмс и Ватсон; каждый обходит свой газон против часовой стрелки. Скорость Холмса на 20% больше скорости Ватсона. Время от времени джентльмены встречаются на общей дорожке. Во второй раз они встретились через 10 минут после первого, а в третий – через 10 минут после второго. Через какое время они встретятся в 4-й раз?;(А. Шаповалов)
Комбинаторная алгебра
115 – 117
115.;(7-8) По кругу написано;n;> 2 попарно различных чисел, причём каждое равно произведению двух соседних с ним. Найдите все возможные значения;n. (Б. Френкин)
116.;(7-8) По кругу написаны числа, причём каждое равно разности следующего и предыдущего по часовой стрелке. Какие это могут быть числа? (Б. Френкин)
117.;(7-8) На доске написаны в строку пять положительных чисел (не обязательно различных). Все их попарные суммы (10 чисел) выписаны во второй строке, а попарные произведения (тоже 10 чисел) – в третьей. Наборы чисел во второй и третьей строках одинаковы (каждое число встречается во второй строке столько же раз, сколько и в третьей). Какие числа могут стоять в первой строке? (Б. Френкин)
Алгебра
118 – 128, а также 8Ар2, 8К5, 8Ал1, 8Ал3, 8Ал5
118.;(6-7) В ряд по возрастанию веса стоят 33 гири. Известно, что каждые четыре подряд стоящие гири можно разложить по две на чаши весов так, чтобы было равновесие.
а) Третья гиря весит 9 г, девятая – 33 г. Сколько весит 33-я гиря?
б);Первая гиря весит 4 г, четвертая – 11 г, одиннадцатая – 24 г. Сколько весит 24-я гиря? (А. Шаповалов)
119.;(7-8) Три яблока вместе весят 300 г. Веса любых двух яблок отличаются не более чем вдвое. Докажите, что найдется пара яблок, чей вес лежит между 180 г и 225 г. (А. Шаповалов)
120.;а);(6-7);Есть 4 яблока разных весов и чашечные весы без гирь. Можно ли найти яблоко, чей вес ближе всего к среднему весу всех яблок?
б) (7-8);Есть 5 яблок разных весов и чашечные весы без гирь. Всегда ли можно найти яблоко, чей вес ближе всего к среднему весу всех яблок?;(А. Шаповалов)
121.;а);(6-7);Существуют ли такие три различных числа, что одно из них равняется среднему арифметическому двух остальных, второе – сумме двух остальных, а третье – произведению двух остальных?
б);(7);Одно из трех чисел равняется среднему арифметическому двух остальных, второе – сумме двух остальных, а третье – произведению двух остальных. Найдите эти три числа. (А. Шаповалов)
122.;(7-8) Для неотрицательных чисел;a,;b,;c;и;d;выполняются равенства:
a2;+;b;=;b2;+;c;=;c2;+;d;=;d2;+;a.
Верно ли, что;;a;=;c?; (Б. Френкин)
123.;(7-8) Найдите все пары натуральных чисел, для которых произведение на 250 больше полусуммы. (А. Шаповалов)
124.;(6-7) Коля отметил на числовой прямой несколько точек красным цветом. Сумма координат всех красных точек равна 2111, причем у двух крайних сумма равна 200. Затем Саша отметил синим цветом середину каждого отрезка, соединяющего две соседние красные точки. Найдите сумму координат синих точек. (А. Шаповалов)
125.;(8) Петя задумал приведенное квадратное уравнение с целыми корнями и сообщил об этом Васе. Вася задал Пете один вопрос и получил ответ. Этого Васе хватило, чтобы однозначно восстановить уравнение. Известно, что Вася задал один из вопросов «Чему равен коэффициент при;x?» или «Чему равен свободный член?». Какое уравнение задумал Петя? (Б. Френкин)
126.;(8) Уравнение;;x2;+;cx;+;c;= 0; имеет целые корни (не обязательно различные). Найдите возможные значения;c. (Б. Френкин)
127.;(8) Петя написал на доске два корня и два младших коэффициента приведенного квадратного уравнения. Вася хочет определить роль каждого из чисел. Числа по модулю больше, чем 2011, и Вася, не имея калькулятора, не может выполнять над ними арифметических действий. Однако он видит знаки этих чисел и может сравнивать, какое из двух чисел больше по абсолютной величине. Роли скольких чисел Вася заведомо может определить? (Б. Френкин)
128.;(8-9) Что больше,;;m2;+;; или;;n2;–;,; если;m;и;n;– натуральные числа,;;m;<;n?; (Б. Френкин)
Алгебра в геометрии
129 – 1230, а также 8Ал4
129. (7-8) Три сталкера дошли до Каменной Аномалии. Оттуда к кладу ведет прямая тропа длиной 100 м. Сталкеры знают, что первый пошедший по тропе окаменеет в произвольном месте, такая же участь ждет и второго. Оба оживут в тот момент, когда третий будет идти по тропе и суммарное расстояние от него до двух окаменевших спутников будет в точности равно 100 м. Могут ли все сталкеры добраться до клада без риска окаменеть навсегда? (А. Блинков, И.Раскина)
130.;(7-8) На координатной плоскости нарисованы 100 графиков функций вида; у;=;ax;+;b.; Известно, что среди коэффициентов;a;и;b;каждое натуральное числа от 1 до 200 встретилось ровно один раз. На какое наименьшее количество частей эти графики могут разбить координатную плоскость? (А. Шаповалов)
;
Геометрия
Разрезания и развертки
131 – 151
131. (7-8) Можно ли разбить квадрат 12´12 на доминошки 1´2 так, чтобы каждая граничила по отрезку с нечетным числом других доминошек? (А. Шаповалов)
132.;(6-8) Клетчатый квадрат 8×8 разрезали по границам клеток на три многоугольника одинакового периметра. Найдите наибольшее возможное значение этого периметра. (А. Шаповалов)
133. (6);Разрежьте квадрат 8×8 по границам клеток на 7 частей с равными периметрами. (А. Шаповалов)
134.;(6-8);Петя разбил клетчатый квадрат 7×7 на прямоугольники по границам клеток, и раскрасил прямоугольники в три цвета так, что прямоугольники одного цвета не соприкасались даже углами. Какое наибольшее число прямоугольников могло быть у Пети? (А. Шаповалов)
135.;(6);Можно ли поверхность куба оклеить;без перекрытий;пятнадцатью одинаковыми прямоугольниками? (Фольклор)
136.;(6-7);Назовем кирпичом прямоугольный параллелепипед, у которого длина, ширина и высота различны. Можно ли поверхность какого-нибудь кирпича оклеить без перекрытий пятью бумажными квадратами? (Квадраты можно перегибать через ребра, размеры их не обязательно одинаковы). (А. Шаповалов)
137**.;(6-9);Можно ли поверхность куба оклеить без перекрытий тремя одинаковыми пятиугольниками? (С. Токарев)
138.;Вася разрезал фигуру, данную на рисунке, на четыре равных многоугольника, вершины которых лежат в узлах сетки.
Может ли в каждом полученном многоугольнике быть
а) (6);больше 17 углов?; б) (6-7);больше 23 углов? (И. Николаева)
139. (6-7);На треугольной сетке нарисован правильный шестиугольник со стороной 3 (см. рисунок справа). Разрежьте его по линиям сетки на девять попарно различных фигур одинаковой площади. (И. Раскина)
140.;(6-7);Верно ли, что любой прямоугольник можно разрезать на два многоугольника так, чтобы площадь первого была хотя бы вдвое больше площади второго, а периметр первого был хотя бы вдвое меньше периметра второго многоугольника?;(А. Шаповалов)
141. (6-7);Вася утверждает, что он может нарисовать шестиугольник и, проведя прямую через две его вершины, отрезать от него семиугольник. Не ошибается ли Вася? (В. Гуровиц)
142.;(6-7);Нарисуйте шестиугольник и проведите через две его вершины прямую, которая разбивает его на два пятиугольника. (В. Гуровиц)
143. (7);Вася вырезал из бумаги многоугольник, а Петя разрезал его на треугольник и четырехугольник. Сколько сторон могло быть в Васином многоугольнике? (И. Раскина)
144. (7-9);Диаметром треугольника назовем длину его наибольшей стороны. Докажите, что любой треугольник можно разбить на два треугольника одинакового диаметра. (А. Шаповалов)
145. а);(6);Докажите, что квадрат можно разрезать на семиугольник и восьмиугольник так, чтобы для каждой стороны восьмиугольника нашлась равная ей сторона семиугольника.
б);(7-8);Докажите, что неравнобедренный треугольник можно разрезать на четырехугольник и пятиугольник так, чтобы для каждой стороны пятиугольника нашлась равная ей сторона четырехугольника.
в);(8);Докажите, что любой треугольник можно разрезать на четырехугольник и пятиугольник так, чтобы для каждой стороны пятиугольника нашлась равная ей сторона четырехугольника. (А. Шаповалов)
146.;(8-9);а) При каком наименьшем;n;найдется;n-угольник, который можно разрезать на 13 равных частей? (А. Заславский)
б) Существуют ли три попарно не подобных треугольника, каждый из которых можно разрезать на 26 равных треугольников? (А.Заславский, Б.Френкин)
147.;(8);На клетчатой бумаге нарисован 222-угольник со сторонами по границам клеток. Из какого наименьшего числа клеток может состоять этот многоугольник? (А. Шаповалов)
148.;(7-9);Даны 10 бумажных прямоугольников. Вася может разрезать не более одного из них на два меньших прямоугольника. После этого он делит прямоугольники на две группы. Всегда ли он может добиться того, чтобы суммы периметров в группах были одинаковы? (А. Шаповалов)
149.;(8-9);Параллелограмм разбит на треугольники. Докажите, что один из них можно накрыть всеми остальными вместе. (А. Шаповалов)
150*.;(8-9);Докажите, что любой треугольник можно циркулем и линейкой разбить на четыре меньших треугольника так, чтобы четыре точки пересечения медиан меньших треугольников лежали на одной окружности. (А. Шаповалов)
151**.;(8-9);Многоугольник (не обязательно выпуклый) удалось разрезать на 2008 меньших равных многоугольников, подобных исходному. Обязательно ли исходный многоугольник – параллелограмм? (А. Шаповалов)
Системы точек и отрезков
152 – 154
152. (6-7);В Бесповоротном королевстве из каждого города можно доехать до любого другого, никуда не сворачивая (но, возможно, проезжая сквозь города). Дороги могут пересекаться только в городе. Дорога считается главной, если на ней находятся все города, кроме, быть может, одного или двух. Обязательно ли в этом королевстве есть хотя бы одна главная дорога? (Дороги – это отрезки, на каждом из них может находиться по несколько городов.);(А. Шаповалов)
153. (6-7);Можно ли отметить на плоскости 6 точек и провести 6 прямых так, чтобы на каждой прямой было две отмеченные точки и по обе стороны от нее лежало по две отмеченные? (А. Шаповалов)
154. (8);На плоскости отметили 7 точек и провели всевозможные отрезки с концами в этих точках. Оказалось, что для каждого отрезка есть ему параллельный. Обязательно ли найдутся три точки, лежащие на одной прямой? (А. Шаповалов)
Геометрическая комбинаторика
155 – 157
155.;(8);Измерив длины сторон и высот некоторого треугольника, Таня получила шесть различных чисел и записала их на шести карточках. Перетасовав карточки, она выслала их Боре. Всегда ли сможет Боря выбрать из них три карточки, на которых выписаны длины сторон? (Жюри по мотивам;Б. Френкина)
156. (7-8);Вася нарисовал на плоскости прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат и покрасил их в три цвета. Оказалось, что каждые два прямоугольника разного цвета имеют общую точку. Докажите, что все прямоугольники одного из цветов имеют общую точку. (А. Акопян)
157.;(7-8);Десять ребят на лужайке играют в пейнтбол, стоя на месте. Сначала каждый выстрелил краской в ближайшего к себе (если «ближайших» несколько, то игрок стреляет в любого из них). Затем, аналогично, каждый выстрелил в наиболее удаленного от себя. Какое наибольшее число порций краски могло в итоге попасть в одного игрока? (С. Токарев)
Простая геометрия
158 – 175
158.;(7-8);В выпуклом многоугольнике сумма тупых углов равна 2008°. Сколько сторон у этого многоугольника?;(А. Шаповалов)
159.;(7-8);В треугольнике;ABC;проведена медиана;BM. Найдите угол;ABC, если; ÐBAC;= 30°,; а;;ÐBMC;= 45°.; (С. Токарев)
160. (7-8);Угол;С;треугольника;АВС;равен 60°. На продолжении стороны;ВС;за точку;C;выбрана точка;D;так, что;;DС;+;СА = ВС.; Докажите, что треугольник;АВD;– равнобедренный. (Фольклор)
161. (7-8);В треугольнике;АВС;угол;С;– прямой,;;ÐА;= 30°.; Окружность с центром;I, вписанная в треугольник, касается катета;АС;в точке;Р;и пересекает отрезок;BI;в точке;М. Точка;K;– середина отрезка;AI. Докажите, что;;СМ =;PK. (Д. Швецов)
162. (7);Биссектрисы треугольника;ABC;пересекаются в точке;I. Серединный перпендикуляр к отрезку;AI;пересекает сторону;AB;в точке;A1, а серединный перпендикуляр к отрезку;CI;пересекает сторону;CB;в точке;C1. Докажите, что точки;A1,;I;и;C1;лежат на одной прямой. (Д. Швецов)
163.;(7-8);В прямоугольном треугольнике;ABC; (ÐC;= 90°); проведены высота;CH;и медиана;CM. Окружность, вписанная в треугольник;MCH, касается сторон;CM;и CH в точках;E;и;F. Прямая;EF;пересекает катеты треугольника в точках;P;и;Q. Докажите, что треугольникPCQ;– равнобедренный. (Д. Швецов)
164. (7);В равнобедренном треугольнике острый угол между одной из биссектрис и одной из высот равен 75°. Какими могут быть углы треугольника? (А.;Блинков)
165. (7);На координатной плоскости выбраны точки;Н(–1, 2) и;М(3, –1). Найдите угол;НОМ, где;О;– начало координат. (Фольклор)
166. (7-8);Точка;E;– середина стороны;BC;квадрата;ABCD,;G;– такая точка на стороне;CD, что;;CG:DG;= 3:1,;;M;– середина отрезка;AE. Найдите;ÐBMG. (Д. Швецов)
167. (7-8);На сторонах;АВ;и;ВС;равностороннего треугольника;АВС;взяты точки;D;и;Е;так, что;;ÐACD;=;ÐВAЕ;= 17°.; Отрезки;CD;и;АЕ;пересекаются в точке;О. Серединный перпендикуляр к отрезку;СО;пересекает прямую;АО;в точке;К. Докажите, что прямые;ВК;и;СОпараллельны. (16-й Уральский турнир)
168. (7-8);В треугольнике;ABC;;ÐC;= 90°,;;ÐA;= 30°.; На катетах;AC;и;BC;отмечают соответственно точки;E;и;D;так, что;;ÐABE;= 40°,;;ÐBAD;= 20°.; Найдите углы треугольника;ECD. (Фольклор)
169. (7-8);AA1,;BB1;и;CC1;– биссектрисы треугольника;ABC,;;ÐB;= 120°.; Из точки;C1;проведен перпендикуляр к прямой;AA1, а из;A1;– к;CC1; эти перпендикуляры пересекли прямую;AC;в точках;C2;и;A2;соответственно. Докажите, что;В1;– середина отрезка;A2C2. (Д. Швецов)
170. (8);Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник;ABC, касается катетов;AB;и;BC;в точках;C1;и;A1;соответственно. Окружность, описанная вокруг треугольника;C1BA1, проходит через середину медианы;BM. Найдите углы треугольника;ABC. (Д. Швецов)
171. (7-8);На прямой в указанном порядке отмечены точки;A,;B,;C,;D;;(AB;≠;CD).; По одну сторону от этой прямой построены равносторонние треугольники;ABX,;BCY;и;CDZ. Оказалось, что;;XY;=;YZ.; Найдите углы треугольника;XYZ. (Уральский турнир)
172. (7-8);В треугольнике;ABC;;ÐABC;= 135°.; На стороне;AC;отмечены точки;M;и;N;(M;между;A;и;N) так, что;;MB;^;NB.;;MP;и;NQ;– биссектрисы треугольников;AMB;и;CNB. Докажите, что точка, симметричная точке;B;относительно прямой;PQ, лежит на;AC. (Д. Швецов, Д. Прокопенко)
173. (7);На сторонах;AD;и;CD;квадрата;ABCD;выбираются точки;Q;и;P;соответственно так, что;;ÐABQ;= 15°,;;ÐPQD;= 30°.; Найдите;ÐQBP. (Д. Швецов)
174.;(7-8);На плоскости расположены два прямоугольника –;P;и;Q, пересечением которых является равносторонний восьмиугольник (не обязательно правильный). Докажите, что;P;и;Q;– квадраты с общим центром. (К. Матвеев)
175*.;(7-8);В четырехугольнике;ABCD;;ÐA;= 85°,;;ÐB;=;115°,;;AD;=;BC.; Серединные перпендикуляры к сторонам;AB;и;CD;пересекаются в точке;M. Найдите;ÐMAB. (А. Шаповалов)
Четырехугольники, подобие, окружности
176 – 185
176. (8);и;– высоты треугольника;АВС,;М;– середина;АВ. Окружность, описанная около треугольника;, вторично пересекает прямую;в точке;X. Докажите, что;AX;– касательная к описанной окружности треугольника;АВС. (Ю. Блинков)
177.;(8);Дан равнобедренный остроугольный треугольник;ABC;с основанием;AC. Высоты;AD;и;CE;пересекаются в точке;H. Прямая;CE;вторично пересекает окружность, описанную около треугольника;ABC, в точке;F. Докажите, что;AD;является касательной к окружности, описанной около треугольника;HBF. (Н. Москвитин)
178. (8) В четырехугольнике;ABCD;угол;B;тупой,;M;– середина;CD. Докажите, что AM;+ BM < AC + AD.; (Ю. Блинков)
179.;(7-8);В трапеции;ABCD;основание;CD;видно из середины;AB;под прямым углом. Докажите, что;;AD;+;BC;³;CD.; (Д. Калинин)
180.;(8);Дан равнобедренный прямоугольный треугольник;ABC;(угол;C;– прямой). Вписанная в него окружность с центром;I;касается стороны;BC;в точке;E. Биссектриса угла;A;вторично пересекает описанную окружность треугольника;ABC;в точке;D. Докажите,; что;;IE;=ED.; (Н. Москвитин)
181.;(8);Отрезок;AB;является общей хордой двух окружностей равного радиуса. Через точку;K, лежащую внутри этого отрезка, проведен к нему перпендикуляр, который пересекает окружности в точках;C;и;D;(в одной из полуплоскостей с границей;AB). Докажите, что точка;D;является точкой пересечения высот треугольника;ABC. (А. Блинков)
182. (8) В треугольнике;ABC;медиана, проведенная из вершины;A, перпендикулярна биссектрисе угла;B. Докажите, что угол;C;не больше 30°. (А. Заславский,;Б. Френкин)
183. (8) В трапеции;ABCD;основание;BC;вдвое меньше основания;AD;;DE;– перпендикуляр, опущенный из вершины;D;на боковую сторону;AB. Докажите, что; CE = CD.; (Н. Москвитин)
184. (8) Точки;E;и;F;– середины боковых сторон;BC;и;AD;трапеции;ABCD. На основании;AB;взяли такие точки;M;и;N, что;MNEF;– равнобокая трапеция. Докажите, что если;M;– середина;AB, то;N;равноудалена от;C;и;D. (Д. Калинин)
185.;(8);Диагонали четырехугольника перпендикулярны. Найдите его углы, если известно, что три из них равны, а все стороны четырехугольника различны. (А. Заславский)
Задачи на построение
186 – 189
186.;а) (7);Дан квадрат. Постройте какой-нибудь прямоугольник с отношением сторон 1:7 так, чтобы на каждой стороне квадрата лежало по вершине прямоугольника.
б);(7);За одну операцию разрешается отрезать по прямой линии от многоугольника равнобедренный треугольник. Можно ли превратить за несколько операций квадрат в прямоугольник, одна из сторон которого в 7 раз больше другой?
в) (8);За одну операцию разрешается отрезать по прямой линии от многоугольника равнобедренный треугольник. Всегда ли можно за несколько таких операций превратить произвольный четырехугольник в трапецию? (А. Шаповалов)
187.;(7-8) На доске нарисован неравнобедренный треугольник. Имеется угольник той же формы, выпиленный из фанеры. Угольник можно прикладывать к доске (в том числе прикладывать его стороны к уже начерченным прямым, а вершины совмещать с уже построенными точками), и чертить линии по его краю. Всегда ли можно построить какую-нибудь из высот нарисованного треугольника? (А. Блинков, Ю. Блинков)
188. (8) Дан отрезок;AB. На этом отрезке взята произвольная точка;C, на полученных отрезках;AC;и;BC;как на сторонах в одной и той же полуплоскости относительно;AB;построены квадраты. Постройте с помощью одной линейки без делений квадрат, диагональю которого является отрезок;AB. (Н. Москвитин)
189. (8-9);Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник;ABC;по стороне;AB;и углам;CBM;и;CAM, где;M;– точка пересечения медиан.;(А. Шаповалов)