Тема №2471

Производные и дифференциалы

Определение производной 


     Односторонние производные 


     Функция, дифференцируемая в точке x0 

 при 


     Дифференциал 


     Дифференцирование арифметических комбинаций 

(u, v, w - дифференцируемые функции,  - постоянные

Производная композиции (сложной функции) 


     Производная обратной функции 


     Логарифмическая производная функции f 


     Производные основных элементарных функций 

Производная степенно-показательной функции 


     Производные высших порядков некоторых функций 


     Производная линейной комбинации 


     Формула Лейбница 

( - биномиальные коэффициенты; u(0) = u, v(0) = v).


     Дифференциалы высших порядков 

      (x - независимая переменная),


     Производные функции, заданной параметрически 

Формула конечных приращений 


     Формула отношения конечных приращений 


     Раскрытие неопределенностей вида  и  по правилу Лопиталя 

(если  существует).


     Локальный экстремум дифференцируемой функции 

     Необходимое условие локального экстремума 

     Если x0 - точка локального экстремума функции f, то 


     Достаточные условия локального экстремума 

     I Правило. Пусть 

     Если f' при переходе через точку x0 меняет знак с "+" на "-", то x0 - точка локального максимума.

     Если f' при переходе через точку x0 меняет знак с "-" на "+", то x0 - точка локального минимума.

     Если f' при переходе через точку x0 не меняет знака, то точка x0 не является точкой локального экстремума.

     II Правило. Пусть f дважды дифференцируема в точке x0, 

     Если  то x0 - точка локального максимума.

     Если  то x0 - точка локального минимума.

     III Правило. Пусть f n раз непрерывно дифференцируема в точке x0 и 

     Если n - четное и  то x0 - точка локального максимума.

     Если n - четное и  то x0 - точка локального минимума.

     Если n - нечетное, то x0 не является точкой локального экстремума.

Выпуклые функции 

     Функция f на интервале 

     1) выпукла (выпукла вниз), если

     2) строго выпукла (строго выпукла вниз), если

     3) выпукла вверх, если

     4) строго выпукла вверх, если


     Признаки выпуклости дифференцируемых функций 

     1. Если f' возрастает на , то f выпукла на  (если f' строго возрастает, то f строго выпукла).

     2. Если , то f выпукла на  (если  обращаясь в нуль, возможно, лишь в конечном числе точек, то f строго выпукла).

     3. Функция f выпукла тогда и только тогда, когда график функции лежит не ниже касательной, проведенной к нему в любой его точке.


     Свойства выпуклых функций 

     1.  В частности:  

     2. 

     3. Точки любой дуги графика лежат под хордой, стягивающей эту дугу.

     4. Функция f непрерывна на интервале  и имеет в каждой его точке конечные односторонние производные.

     5. Функция f имеет на  не более одного локального минимума и не имеет локальных максимумов.


     Точки перегиба 

     Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0, непрерывна в точке x0 и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Если при переходе через точку x0 функция f меняет направление выпуклости, то x0 называют точкой перегиба функции f, а точку (x0; f(x0)) - точкой перегиба графика функции f. График функции переходит с одной стороны касательной, проведенной в точке (x0;f(x0)), на другую сторону. Точки перегиба f - точки экстремума для f'.


     Необходимые условия наличия перегиба 

      либо  не существует.


     Достаточные условия наличия перегиба 

     1. Если  меняет знак при переходе через точку x0, то x0 - точка перегиба.

     2. Если  то при n четном x0 - точка перегиба, при n нечетном x0 не является точкой перегиба.

Категория: Математика | Добавил: Просмотров: 1 | Теги: Дифференциальное исчисление | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0