2.5
1. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении прибора – 0,03, второго – 0,06. Найти вероятность того, что: а) при включении прибора откажет только первый элемент; б) при включении прибора откажут оба элемента; в) при включении прибора не откажет ни один элемент. 2. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность сработать при аварии для первого сигнализатора равна 0,9, для второго сигнализатора – 0,92 и для третьего – 0,95. Найти вероятность того, что: а) при аварии сработают три сигнализатора; б) при аварии не сработает ни один сигнализатор; в) при аварии сработает только один сигнализатор. 3. Вероятность сдачи студентом зачета равна 0,8. Если зачет сдан, то студент допускается к экзамену, вероятность сдачи которого равна 0,75. Найти вероятность того, что студент сдаст зачет и экзамен. 4. В урне 10 красных и 6 синих шаров. Наудачу вынимают два шара. Какова вероятность того, что шары будут одноцветными? 5. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что: а) оба студента взяли хорошие билеты; б) оба студента взяли плохие билеты. 6. В читальном зале 6 книг по теории вероятностей, из них 3 в переплете. Наудачу взяли 2 учебника. Какова вероятность того, что оба учебника в переплете? 7. Вероятность попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,9. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым орудием, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. 8. Какова вероятность того, что наугад вынутый шар из урны, содержащей 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров, окажется красным или белым? 9. Круговая мишень состоит из «яблочка» и двух концентрических кругов, вероятности попадания в которые соответственно равны 0,11; 0,24; 0,35. Найти вероятность промаха при одном выстреле по мишени. 10. Первый ящик содержит 2 белых и 10 черных шаров, второй – 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) два шара разных цветов. 81 11. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). 12. Биатлонист 7 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последние три промахнулся. Результат округлите до сотых. 13. В торговом центре два одинаковых автомата продают шоколадки. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончатся шоколадки, равна 0,4. Вероятность того, что шоколадки закончатся в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня шоколадки останутся в обоих автоматах. 14. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся Т. верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что Т. верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 9 задач. 15. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Фортуна» по очереди играет с командами «Политех», «Енисей» и «Спарта». Найдите вероятность того, что «Фортуна» будет начинать только первую и последнюю игры. 16. Стрелок стреляет по мишени. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом). 17. Вероятность того, что на тесте по биологии ученик верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что ученик верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что он верно решит ровно 11 задач. 18. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,19. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. 19. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4. 82 20. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель для первого стрелка – 0,9, для второго – 0,8. Найти вероятность того, что оба стрелка поразят мишень. 21. Найти вероятность только одного попадания при трех выстрелах по одной мишени, если вероятность попадания при каждом выстреле равна p 0,6. 22. Какова вероятность появления на первой кости нечетного числа очков и на второй кости пяти очков при бросании двух игральных костей? 23. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две батарейки. Найти вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. 24. Если футбольная команда А играет на домашнем стадионе, то она выигрывает у футбольной команды Б с вероятностью 0,4. Если команда А играет в гостях (на домашнем стадионе команды Б), то команда А выигрывает у команды Б с вероятностью 0,3. Команды А и Б играют два матча, по одному разу на домашнем стадионе каждой из них. Найти вероятность того, что команда А выиграет оба матча. 25. Ракета поражает цель с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что цель не окажется пораженной после 4 запусков ракеты? 26. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Вероятность попадания по цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем – 0,7. Сколько выстрелов потребуется сделать для того, чтобы вероятность хотя бы одного попадания по цели была не менее 0,97? 27. Студент знает 20 вопросов из 25, для получения зачета необходимо правильно ответить на 3 вопроса. Найти вероятность получения зачета. 28. Из урны, содержащей 10 белых и 5 черных шаров, последовательно вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что: а) вынутые 3 шара будут белые; б) первый белый, а остальные черные. 29. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна 0,05. Найти вероятность того, что за три смены не произойдёт ни одной неполадки. 30. Две ракеты выпущены по цели. Вероятность поражения цели одной ракетой 0,7, другой 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы одна из ракет поразит цель, если они выпущены независимо друг от друга. 31. Три стрелка стреляют по мишени: вероятность попадания в цель для первого стрелка – 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок промахнется. 83 32. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4 выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания стрелком в цель при одном выстреле, если она не зависит от номера выстрела. 33. Завод в среднем даёт 28 % продукции высшего сорта и 70 % – первого сорта. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие будет высшего или первого сорта. 34. Автомат изготавливает однотипные детали, причём технология изготовления такова, что 5 % произведённой продукции оказывается бракованной. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность того, что деталь стандартная. 35. Пассажир может доехать до своей станции поездами двух направлений. Вероятность наличия в кассе билетов на поезд первого направления равна 0,5, а на поезд второго направления – 0,7. Найти вероятность того, что пассажир купил билет. 36. У остановочной платформы на привокзальной площади останавливаются автобусы 8 маршрутов с одинаковой частотой движения. Какова вероятность того, что из двух первых автобусов один окажется нужного для данного пассажира маршрута? 37. В подаче из 15 вагонов 3 полувагона с углём. Найти вероятность того, что локомотиву, прибывшему за полувагонами, не придется переставлять вагоны. 38. Вагоны с промежуточной станции убираются сборным поездом и вывозным локомотивом. Сборный поезд вывозит их с вероятностью 0,6. Если он их не вывезет, то вывозной локомотив заберет их с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что вагоны будут убраны со станции локомотивом. 39. Под погрузку поданы платформа, полувагон и крытый вагон. Грузоподъёмность платформы используется с вероятностью 0,9, полувагона – 0,8, крытого вагона – 0,7. Найти вероятность того, что: а) грузоподъемность всех трёх вагонов будет использована полностью; б) грузоподъемность только одного из трёх вагонов будет использована полностью; в) грузоподъемность двух вагонов будет использована полностью; г) грузоподъемность трех вагонов не будет использована полностью. 40. В разборочных поездах, прибывающих с направления A, 20 отцепов. Всего за сутки с этого направления прибывает 1000 вагонов, из которых на назначение № 1 – 200 вагонов. Определить вероятность прибытия в разборочном поезде четырех отцепов назначения № 1. 41. Через точку пересечения маршрутов пропускается в одном направлении n(А) = 40, а в другом n(Б) = 25 поездов в сутки. Время занятия 84 маршрута поездами направления A – t(А) = 5 минут, направления Б – t(Б) = 6 минут. Определить среднее число поездов, задержанных у пересечения за сутки. 42. В перерабатываемом на сортировочной горке потоке вагонов 5 % шестиосных и 95 % четырехосных. Определить вероятность того, что в отцепе из трех вагонов будет: а) три шестиосных, б) два шестиосных, один четырехосный. 43. На участке А – Б с пропускной способностью 180 поездов и размерами движения 90 поездов в сутки лопнул рельс. На замену рельса требуется 64 мин. Определить вероятность того, что а) за этот период не будет задержано ни одного поезда, б) за этот период будет задержано два и более поездов. 44. На диспетчерском участке А – Б 10 станций. Каждый дежурный по станции разговаривает с диспетчером в среднем 3 раза в час по 1 минуте. Определить вероятность того, что за период Т = 20 минут диспетчер не получит ни одного вызова. 45. В составе из 20 вагонов 5 вагонов одного назначения. Определить вероятность того, что: а) все вагоны в количестве 5 штук будут стоять вместе (одним отцепом); б) в составе будет не менее одного отцепа из трех и более вагонов этого назначения. 46. В приемнике радиосвязи с маневровым локомотивом имеется 2 лампы первого типа и 2 лампы второго типа. Вероятность выхода из строя в течение времени Т ламп первого типа p1 0,02, второго типа p2 0,04. Определить вероятность выхода из строя приемника в результате выхода из строя хотя бы одной лампы. 47. В купейном вагоне пассажирского поезда 36 пассажиров едут на 5 станций: на станцию 1-ю – 4, на 2-ю – 9, на 3-ю – 4, на 4-ю – 8, на 5-ю – 11. Определить вероятность того, что при случайном распределении пассажиров по местам в одном купе окажутся пассажиры, следующие до одной станции. 48. На сортировочной платформе 8 специализированных мест. К платформе без подборки подается 8 вагонов. Определить вероятность того, что хотя бы один вагон будет стоять на своем месте. 49. При расформировании состава от толчка локомотива в сортировочный парк уходят 3 отцепа, которые «плохие бегуны» с вероятностью рп 0,1, «массовые» с вероятностью 5 0, рм и «хорошие бегуны» с вероятностью 4 0, рх . Найти вероятность того, что все отцепы будут одного типа. 50. В среднем за смену на станцию прибывают скорые, пассажирские 85 и грузовые поезда в отношениях 2:5:8 (всего не более 17 поездов за смену). Найти вероятность того, что первые поезда следуют в порядке грузовой – пассажирский – грузовой. 51. В подаче вагонов на контейнерную площадку могут находиться четырехосная платформа с вероятностью 0,3, четырехосный полувагон с вероятностью 0,1. Определить вероятность того, что выбранный наудачу вагон окажется четырехосным. 52. На станцию с тремя пунктами местной работы прибывает группа вагонов на один из них. Вероятность того, что вагоны предназначены для первого пункта, 0,4, а для второго – 0,35. Найти вероятность того, что эти вагоны предназначены для третьего пункта. 53. В графике движения на участке проложено 120 ниток для грузовых поездов. На станцию с этого участка прибывает 80 поездов в разборку. Определить вероятность прибытия двух разборочных поездов по двум соседним ниткам. 54. Под погрузку поданы платформы, полувагон и крытый вагон. Грузоподъемность платформы используется с вероятностью 0,9, полувагона – 0,8, крытого вагона – 0,7? Найти вероятность того, что грузоподъемность хотя бы одного вагона будет использоваться полностью. 55. Вагоны с промежуточной станции убираются сборными поездами и вывозным локомотивом. Первый сборный поезд вывезет их с вероятностью 0,6. Если он их не вывезет, то вывозной локомотив заберет их с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что и после локомотива вагоны остались на станции? 56. Вероятность появления в поезде вагонов: на грузовой двор – 0,2, на контейнерную площадку – 0,3, на промышленное предприятие – 0,4. Найти вероятность появления вагонов: а) на все три пункта; б) на два; в) на один; г) хотя бы на один из грузовых пунктов. 57. Состав из 20 отцепов расформировывается на сортировочной горке по программе, набранной на накопителе ГАЦ для другого состава. Определить вероятность того, что: а) все отцепы будут направлены по назначению; б) хотя бы один отцеп попадет на специализированный путь. 58. По графику на участке Б – В проложено 90 ниток для грузовых поездов. На станцию Б в сутки прибывает 60 поездов в разборку. Определить вероятность прибытия 3 разборочных поездов по 3 различным ниткам графика.
2.6
1. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25 %, вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5 %, 4 % и 2 %. Найти вероятность того, что случайно выбранный из продукции болт окажется дефектным. 2. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 чёрный шар, во втором – 1 белый и 4 чёрных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется белым. 3. В первой коробке содержится 10 карандашей, из них 5 красных; во второй 20 карандашей, из них 3 красных. Из первой коробки переложили во вторую 1 карандаш. Найти вероятность того, что карандаш, наудачу извлеченный из второй коробки, будет красным. 4. С первого автомата на сборку поступает 40 %, со второго – 30 %, с третьего – 20 %, с четвёртого – 10 % деталей. Среди деталей первого автомата 0,1 % бракованных, второго – 0,2 %, третьего – 0,25 %, четвёртого – 0,5 %. Найти долю бракованных деталей, поступающих на сборку. 5. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70 % этих стекол, вторая – 30 %. Первая фабрика выпускает 3 % бракованных стекол, а вторая – 1 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. 94 6. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. 7. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5 % пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. 8. В первой урне содержится 10 шаров, из них 2 белых; во второй урне – 20 шаров, из них 8 белых. Из каждой урны извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что он белый. 9. Группа состоит из 5 отличников, 15 хорошо успевающих и 5 занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные отметки, хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные отметки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные отметки. Для сдачи наугад назван студент. Какова вероятность того, что он получит хорошую отметку? 10. В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,6. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведёт выстрел из наудачу взятой винтовки. 11. Прибор может работать в нормальном и аварийном режимах; нормальный наблюдается в 80 % всех случаев работы прибора, аварийный – в 20 %. Вероятность выхода прибора из строя за время Т в нормальном режиме – 0,1, в аварийном – 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время Т. 12. Приборы одного наименования изготавливают два завода: первый – 2/3 всех изделий, поступающих на производство, второй – 1/3; надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного 95 первым заводом, – 0,9, вторым – 0,6. Найти надежность прибора, поступившего на производство. 13. В первой урне 12 белых и 8 черных шаров, во второй – 10 белых и 10 черных шаров. Из первого ящика вынули два шара и переложили их во второй, после чего из второй урны наугад вынули один шар. Вычислить вероятность того, что вынут черный шар. 14. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки переложили в первую 1 лампу. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартная. 15. Из полного набора домино вынули одну кость и отложили в сторону. Из оставшихся костей наудачу взяли две. Найти вероятность того, что обе кости являются дублями. 16. Предположим, что 5 % всех мужчин и 0,25 % всех женщин дальтоники. Найти вероятность того, что случайно встреченный человек дальтоник (считать, что мужчин и женщин одинаковое число). Какова вероятность того, что это женщина? 17. Найти вероятность того, что выбранная наудачу деталь, оказавшаяся отличного качества, произведена первым станком, если детали производят два станка: первый в 2 раза больше, чем второй, причем первый станок производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй станок – 80 %. 18. Имеются три одинаковых по виду ящика: в первом – 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика. 19. Имеется 2 партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии 1 изделие бракованное. Изделие, взятое наугад из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наугад изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии. 20. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 25 %, вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 5 %, 4 %, 2 %. Какова вероятность того, что случайно выбранный бракованный болт изготовлен первой машиной? 21. В спартакиаде участвуют из первой группы 4 студента, из второй – 6, из третьей – 5. Студент из первой группы попадает в сборную института с вероятность 0,9, второй – 0,7, третьей – 0,8. Наудачу выбранный студент попал в сборную. Какова вероятность того, что это студент из второй группы? 96 22. Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40 % продукции, второй – 45 %, третий – 15 %. В продукции первого завода спешат 30 % часов, у второго – 70 %, у третьего – 90 %. Купленные часы спешат, какова вероятность, что они изготовлены на втором заводе? 23. На сортировочную станцию прибывают полувагоны, платформы, крытые вагоны с вероятностями 0,35; 0,4; 0,25 соответственно. При осмотре их в парке приёма установлено, что вероятность неисправности полувагона равна 0,015, платформы – 0,01, крытого вагона – 0,02. Найти вероятность того, что: а) взятый наудачу вагон будет неисправен; б) неисправным окажется полувагон. 24. На станции два грузовых пункта. Один из них ежесуточно отправляет в 3 подачах по 20 вагонов, а второй – в 5 подачах по 16 вагонов. В каждой группе вагонов, сформированной первым пунктом, 4 вагона недогружены, а в группе со второго пункта 2 вагона недогружены. Найти вероятность того, что: а) взятый наудачу вагон недогружен; б) недогруженный вагон будет со второго пункта. 25. На сортировочную станцию с одного из направлений прибывает в расформирование 20 поездов в сутки, из них 2 поезда, сформированных на станции А, 5 поездов – на станции В, 4 поезда – на станции Г, 2 поезда – на станции Д, 4 поезда – на станции Е и 2 поезда – на станции К. Вероятность прибытия вагонов для шестого сортировочного пути с поездами, сформированными на станции А, Р(А) = 1, на станции В – Р(В) = 0,7, на станции Г – Р(Г) = 0,6, на станции Д – Р(Д) = 0,4, на станции Е – Р(Е) = 0,2, на станции К – Р(К) = 0,1. Найти вероятность наличия вагонов для шестого сортировочного пути для наудачу взятого состава. 26. В условиях задачи 25, наложенных на вероятность, найти вероятность наличия вагонов для шестого сортировочного пути для наудачу взятого состава, если из 20 поступающих в расформирование составов 10 формировались на станции А, 2 – на станции В, 3 – на станции Г, 2 – на станции Д, 2 – на станции Е, 1 – на станции К. 27. Студент решает задачу по математике. С вероятностью 0,15 он неправильно перепишет условие задачи. Если он все же переписал его правильно, то с вероятностью 0,3 он выберет неправильный способ решения. Если он выбрал правильный способ решения, то с вероятностью 0,2 он допустит ошибку в вычислениях. Задача решена неверно. Какова вероятность того, что студент выбрал неправильный способ решения?
3.1
1. Бросаются пять монет. Какова вероятность того, что выпадет три герба? 2. Игральный кубик подбрасывается 7 раз. Найти вероятность того, что событие А = {выпало число очков, равное 4} наступит ровно 3 раза. 3. Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того, что событие А = {выпал герб} наступит ровно 4 раза. 4. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек равна 0,3. Найти вероятность того, что при 6 бросках 3 кольца окажутся на колышке, если броски считать независимыми. 5. На самолёте имеются четыре одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полёте равна 0,9. Найти вероятность того, что в полёте могут возникнуть неполадки в одном двигателе. 6. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре из 30 дней бывает в среднем 12 дождливых дней. Найти вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми. 103 7. Случайно встреченное лицо с вероятностью 0,3 может оказаться блондином. Найти вероятность того, что среди пяти случайно встреченных лиц не менее четырех блондинов. 8. Случайно встреченное лицо с вероятностью 0,1 может оказаться рыжим. Найти вероятность того, что среди пяти случайно встреченных лиц хотя бы один рыжий. 9. Найти вероятность двукратного появления герба при подбрасывании монеты 10 раз. 10. Найти вероятность того, что из 6 взятых наудачу деталей 4 окажутся стандартными, если вероятность изготовления на станке стандартной детали равна 0,9. 11. Прибор состоит из 5 узлов. Вероятность безотказной работы в течение времени t для каждого узла равна 0,7, узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время t а) откажет ровно 1 узел; б) откажут ровно 2 узла; в) откажут не более двух узлов; г) откажет хотя бы 1 узел. 12. Что вероятнее: выиграть две игры из четырех или три игры из шести при игре двух равносильных футбольных команд (ничьи во внимание не принимаются)? 13. Найти вероятность того, что из четырех вынутых подряд шаров окажется 2 белых, если в урне 20 белых и 10 черных шаров, причем каждый вынутый шар возвращали в урну перед извлечением следующего, а шары в урне перемешивали. 14. В ГАИ дают 5 вопросов, которые имеют по 3 ответа: 2 правильных и 1 неправильный. Для получения водительских прав необходимо верно ответить хотя бы на 3 вопроса из пяти. Найти вероятность получения прав. 15. Перед началом волейбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Байкал» по очереди играет с командами «Амур», «Енисей», «Вилюй», «Иртыш». Найдите вероятность того, что ровно в двух матчах право первой владеть мячом выиграет команда «Байкал». 16. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет пять раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень ровно три раза. 17. Вероятность поступления с каждым поездом вагонов для грузового двора равна 0,3. Найти вероятность того, что во взятых трёх составах 104 только в двух есть вагоны для грузового двора; только в одном есть вагоны для грузового двора. 18. В парке приёма 7 путей, вероятность занятости каждого из них прибывающими поездами равна 0,7. Найти вероятность занятости четырёх путей. 19. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,85. Найти наивероятнейшее число попаданий, если произведено 25 независимых выстрелов. 20. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре из 30 дней бывает в среднем 12 дождливых дней. Найти наиболее вероятное число солнечных дней в первые 20 дней этого месяца. 21. Известно, что вероятность прорастания семян данной партии пшеницы 0,95. Найти необходимое количество семян из этой партии, чтобы наивероятнейшее число взошедших семян равнялось 100. 22. Найти наивероятнейшее число появлений белого шара при извлекании из урны 20 шаров (с возвратом каждого вынутого шара), если в урне 100 белых и 80 черных шаров. 23. Найти наивероятнейшее число появлений события А в серии из 11 испытаний, где вероятность появления события А в каждом из испытаний равна р = 0,3. 24. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 150 изделий, если при данном технологическом процессе 85 % всей произведенной продукции – высшего сорта. 25. Местные вагоны убирают с грузовых пунктов десятью группами. Вероятность уборки каждой группы к моменту завершения накопления составов равна 2/3. Найти наивероятнейшее число наступления события А = {своевременной уборки группы вагонов} в 10 испытаниях. 26. При осмотре составов в парке отправления в каждом из них с вероятностью 0,1 есть вагоны, требующие ремонта. Найти наивероятнейшее число составов, в которых нет таких вагонов, если в сутки со станции отправляется 120 поездов. 27. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, 0,02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 855 пассажиров. 28. Вероятность поступления вагонов с каждым поездом для грузового двора 0,3. Найти вероятность того, что во взятых 3 составах в каждом а) есть вагоны для грузового двора; б) нет таких вагонов; в) есть в одном; г) двух составах. 29. Под погрузкой находятся n вагонов. После погрузки каждый вагон 105 имеет недогруз с вероятностью 0,1. Установить наличие хотя бы одного вагона, имеющего недогруз. 30. На сортировочной станции за один час расформировывается 4 поезда. С вероятностью 0,2 вагоны поступают на 5-й сортировочный путь. Найти вероятность того, что на этот путь вагоны прибудут только с двумя поездами. 31. В парке приема 9 путей, вероятность занятости каждого из них прибывающими поездами 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент в парке занято составами 5 путей. 32. Вероятность нахождения в каждом прибывшем составе вагонов на данное назначение 0,2. Какова вероятность того, что в трех из пяти прибывших в течение часа поездах будут вагоны данного назначения? 33. В подаче порожних вагонов с вероятностью 0,1 каждый из них требует очистки. Найти вероятность того, что из 6 вагонов очистке будет подвергнуто не более 2 вагонов. 34. Вероятность своевременного прибытия каждого поезда равна 0,9. Найти вероятность того, что из семи последовательно прибывших поездов прибудут без опоздания: а) пять; б) более пяти. 35. В натурных листах, получаемых станцией по телетайпу, из-за различных помех встречаются ошибки. В среднем на 10 листов приходится один с ошибками. Определить вероятность того, что из 5 переданных листов в 2 будут ошибки.
3.2
1. Станция техобслуживания поставила 10000 сигнализаций на автомобили. Вероятность выхода из строя сигнализации в течение месяца р = 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажут две сигнализации. 2. Найти вероятность того, что среди ста наугад выбранных человек не окажется ни одного левши, если среди 1000 человек приблизительно 8 левшей. 3. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна р = 0,003. Какова вероятность того, что за время t откажут: а) 3 элемента, б) хотя бы один элемент? 4. При ремонте вагонов в поездах в парке отправления у отдельных вагонов приходится менять головку автосцепки. На станции С на 1000 отправленных вагонов приходится в среднем 2 таких случая. Найти вероятность того, что в составе из 60 вагонов потребуется замена головки автосцепки у двух вагонов. 5. При осмотре состава в парке приема сортировочной станции на каждую тысячу вагонов в среднем выявляется 5 неисправных. Определить вероятность того, что в составе из 60 вагонов будет: а) 3 неисправных вагона; б) от 2 до 4 неисправных. 109 6. В парк приема станции прибывает ежесуточно 500 вагонов. Вероятность нахождения среди них неисправного вагона 0,002. Какова вероятность того, что в данные сутки будет обнаружено более трех неисправных вагонов? 7. Учебник издан тиражом 200000 экземпляров. Вероятность того, что он сброшюрован неправильно, р = 0,00015. Найти среднее число бракованных книг. 8. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету р = 0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы вероятность выигрыша хотя бы по одному билету была не меньше 0,95? 9. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, р = 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит: а) ровно 2 разбитых бутылки, б) не менее двух разбитых бутылок, в) хотя бы две разбитые бутылки. 10. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти вероятность того, в течение минуты поступит: а) ровно 4 вызова, б) хотя бы 4 вызова, в) хотя бы 1 вызов.
3.3
1. Произведено 100 независимых испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит 78 раз, если вероятность появления этого в каждом испытании равна 0,8. 2. При ремонте вагонов в поездах в парке отправления у отдельных вагонов приходится менять головку автосцепки. На станции С на 100 отправленных вагонов приходится в среднем 2 таких случая. Определить вероятность того, что в составе из 64 вагонов потребуется замена головки автосцепки у двух вагонов. 3. В 400 разборочных поездах, прибывающих за 5 суток на станцию, вероятность появления местных вагонов равна 0,2. Какова вероятность того, что местные вагоны прибывают в 80 поездах? 4. Вероятность того, что поезд прибудет на станцию с отклонением от графика, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 400 случайно отобранных поездов 70 прибудут не по графику. 115 5. Вероятность безотказной работы автосцепного оборудования цистерны равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 обследованных вагонов автосцепное оборудование не требует ремонта у 380 вагонов. 6. Вероятность того, что поезд прибудет на станцию с отклонением от графика, равна 0,2. Какова вероятность того, что из 400 случайно отобранных поездов от 70 до 100 прибудут не по графику? 7. Вероятность того, что деталь будет бракованной, равна 0,6. Найти вероятность, что среди 200 случайно отобранных деталей окажутся бракованными от 120 до 150 деталей. 8. При перевозке хрупких изделий в среднем ломаются пять изделий из 50. Найти вероятность того, что при перевозке 1000 изделий сломаются от 70 до 100 изделий. 9. Вероятность того, что в прибывшем на станцию поезде есть неисправные вагоны, p = 0,1. Найти процент того, что в случайно отобранных 576 поездах относительная частота появления неисправных вагонов отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на ε = 0,01. 10. В парке порожних вагонов с вероятностью 0,9 каждый из них требует очистки. Сколько следует проверить вагонов, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения частоты требующих очистки вагонов от вероятности того, что вагон требует очистки, не превысит 0,01?