Тема №2475

Определенный интеграл

Определенные интегралы (интеграл Римана). 

     Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале [a,b]. Разобъем этот интервал на n частичных интервалов точками

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.

Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке  и составим сумму (интегральная сумма) .

     Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения: , то функция f(x) называется интегрируемой в смысле Римана на интервале [a, b]. Предел этой суммы

называется определенным интегралом от f(x) по интервалу [a, b] в смысле Римана (интеграл Римана). Это определение означает, что для любого положительного числа  существует такое число , что при любом разбиении интервала [a, b] на частичные интервалы, длины которых меньше .

и при любом выборе промежуточных точек  выполняется неравенство

     Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а a и b - пределами интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница (формула двойной подстановки) 

(f непрерывна; F - первообразная для f).


     Теорема Барроу 

     Если f непрерывна, то 


     Свойства интеграла 

     Линейность 


     Аддитивность 


     Монотонность 

     Если  и a < b, то  В частности, если  то 

Теоремы о среднем


     Первая теорема о среднем 

( - среднее значение функции).

     Если f непрерывна, то


     Вторая теорема о среднем 

     Если f, g непрерывны, а g не меняет знак, то


     Формула Бонне 

(g монотонна).


     Оценки интегралов 

     1. Если  то

     2. 

     3. Если  то 

Преобразование интегралов


     Интегрирование по частям 

или

(u, v непрерывно дифференцируемы на интервале ).


     Замена переменного (интегрирование подстановкой) 

     Если функция x = x(u) непрерывно дифференцируема на интервале , а функция f(x) непрерывна на интервале , где m - точная нижняя, а M - точная верхняя граница функции x(u) на интервале , то


     Дифференцирование по параметру 

     Если функция  и ее частная производная  непрерывны на множестве , а функции  и  дифференцируемы на интервале  и удовлетворяют на нем условиям , то при 

  (правило Лейбница).

Первая формула остается в силе и для несобственных интегралов, если предположить, что интеграл  сходится, а интеграл  равномерно сходится на интервале . (При этом функция  и ее производная  предполагаются непрерывными лишь на множестве  или на множестве .)

  Второй случай часто можно свести к первому подходящей заменой переменных. Отметим также, что


     Неравенства 

     Если интегралы существуют, то (при a < b) из  на [a, b] следует

     Если  на ограниченном интервале [a, b], то из существования интеграла  вытекает и существование интеграла  и

     Если функция y = f(x) на интервале [a, b] неотрицательна, то интеграл  выражает площадь, ограниченную кривой y = f(x), осью абсцисс и двумя прямыми x = a и x = b. Если , то интеграл выражает эту площадь, взятую со знаком минус.

     Функция f (x), ограниченная на ограниченном замкнутом интервале [a, b], интегрируема на нем в смысле Римана в том и только в том случае, если она непрерывна почти всюду на [a, b]. Это, в частности, верно: 1) если функция f(x) непрерывна на [a, b]; 2) если функция f(x) ограничена на [a, b] и имеет на [a, b] конечное или счетное множество точек разрыва; 3) если функция f(x) монотонна на [a, b]; 4) если f(x) есть функция ограниченной вариации на [a, b]. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то она интегрируема и на каждом интервале, содержащемся в [a, b].


     Приближенное вычисление интегралов 

     Формула средних прямоугольников 


     Формула трапеций 

  Формула Симпсона 


     Некоторые приложения интеграла 

     Площадь криволинейной трапеции 

(f непрерывна и неотрицательна).


     Площадь фигуры, ограниченной линиями y = f(x), y = g(x), x = a, x = b, 


     Площадь криволинейного сектора в полярных координатах 


     Объем фигуры через площади поперечных сечений 

 Объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции 

     Вокруг оси 

     Вокруг оси 


     Длина кривой 

     1. Заданной уравнением 

     2. Заданной параметрически:

     a) на плоскости 

     б) в пространстве 

     3. Заданной полярным уравнением 

Площадь поверхности фигуры вращения 

     1. Полученной вращением кривой  вокруг оси Ox,

     2. Полученной вращением кривой  вокруг оси Ox,


     Центр масс кривой 

( - плотность кривой).

 

     Масса: 

     Статические моменты относительно координатных осей:

     Координаты центра масс: 


     Центр масс криволинейной трапеции

(плотность  постоянная)

 

     Масса: 

     Статические моменты относительно координатных осей:

     Координаты центра масс: 

Категория: Математика | Добавил: Просмотров: 1 | Теги: Интегральное исчисление | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0