Тема №2478

Операционное исчисление

 Преобразование Лапласа 
 

(f - оригинал; F - изображение).

     Запись 


     Условия на оригинал 

     1. 

     2. f - кусочно-непрерывна на R.

     3.  такие, что 


     Линейность 


     Теорема подобия 

     Если  то 


     Теорема запаздывания 

     Если  то 


     Теорема смещения 

     Если  то 

Дифференцирование оригинала 

     Если  - оригинал, то

     Если  - оригинал, то


     Интегрирование оригинала 

     Если  то 


     Дифференцирование изображения 

     Если  то 


     Интегрирование изображения 

     Если  - оригинал, то 


     Изображение свертки (теорема умножения) 

     Если  то


     Формула Дюамеля 

     Если f непрерывна на  непрерывно дифференцируема на  а  то

(формула Дюамеля).

 Формула Меллина обращения преобразования Лапласа 


     Первая теорема разложения 

     Если  - ряд Лорана, сходящийся при |p| > R, то


     Вторая теорема разложения 

     Пусть  - правильная рациональная дробь и

Тогда

где

     В частности, если все корни знаменателя простые и

 Некоторые применения операционного исчисления 

     1. Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

     Применяя преобразование Лапласа и используя теорему о дифференцировании оригинала, приходим к уравнению

где 

     Преобразуя, получаем уравнение вида  откуда 

     Из последнего соотношения получаем возможность найти оригинал x(t) по его изображению X(p).

     Начальная задача  сводится заменой  к описанной.

     2. Решение задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Схема применения преобразования Лапласа такая же, как в п. 1.

Пример. 

     Применяя преобразование Лапласа, приходим к алгебраической системе:

откуда  

     3. Решение интегральных уравнений Вольтера типа свертки

     Применяя преобразование Лапласа, получаем

где 

     Из последнего уравнения выразим X(p) и по X(p) найдем оригинал x(t) - решение интегрального уравнения.

     4. Вычисление несобственных интегралов.

     Если f = F, g = G, то

(формула Парсеваля).

Таблица основных преобразований Лапласа 

Категория: Математика | Добавил: Просмотров: 1 | Теги: Комплексный анализ | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0