Тема №2474

Неопределенный интеграл


     Первообразная 

     Первообразной функции f на промежутке I называется функция F, такая, что 


     Неопределенный интеграл

где F - первообразная функции f (на промежутке); C - произвольная постоянная.

 


     Основные свойства

     1.    

     2.    

     3. Если  то

     4. 


     Замена переменных в неопределенном интеграле

     1. 

     2. Если  - первообразная для  то

Формула интегрирования по частям

(u, v - дифференцируемые функции).


     Простейшие интегралы

 

Интегрирование рациональных функций

     Интегрирование простейших рациональных функций 
 

     1. 

     2. 

     3. 

 4.  заменой  сводится к линейной комбинации интегралов  и 

     5.  заменой  сводится к линейной комбинации интегралов и 


     Разложение правильной дробно-рациональной функции на элементарные дроби 

     Если P(x), Q(x) - многочлены, степень P(x) меньше степени Q(x) и  где  то

     После умножения на Q(x) искомые коэффициенты разложения находятся из условия тождественного равенства двух многочленов.

     Если корни многочлена Q(x) простые,  то

где  В этом случае коэффициенты могут быть найдены и методом домножения:

Интегрирование рациональной функции в общем случае 

     Любую рациональную функцию можно представить в виде  где S, P, Q - многочлены, степень P < степени Q.

     После разложения P(x)/Q(x) на элементарные дроби интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию простейших рациональных функций.


     Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла от рациональной функции 

     Если P(x)/Q(x) - правильная дробь, то

где  - многочлены, степень  степени  степень  степени 

     Если  то  


     Метод рационализации 

(R - рациональная функция двух переменных)


     Интегрирование иррациональностей от дробно-линейной функции 

рационализирует подстановка 

Интегрирование биномиальных дифференциалов 

рационализуется лишь в трех случаях:

     1)  подстановка  где k - общий знаменатель m и n;

     2)  подстановка  где k - знаменатель p;

     3)  подстановка  где k - знаменатель p.


     Интегрирование рационально-тригонометрических функций 

всегда рационализует универсальная подстановка 


     Специальные подстановки 

     1) Если R (-sin x, cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка cos x = t.

     2) Если R (sin x, -cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка sin x = t.

     3) Если R (-sin x, -cos x) = R (sin x, cos x), то рационализует подстановка tg x = t.


     Интегрирование рационально-гиперболических функций 

рационализует подстановка 

 1. При R (-sh x, ch x) = -R (sh x, ch x), то рационализует подстановка ch x = t.

     2. При R (sh x, -ch x) = -R (sh x, ch x), то рационализует подстановка sh x = t.

     3. При R (-sh x, -ch x) = R (sh x, ch x), то рационализует подстановка th x = t.


     Вычисление интегралов вида  

     Подстановки Эйлера:

     1)  рационализуют подстановки 

     2)  рационализуют подстановки 

     3)  рационализуют подстановки  где i= 1 либо i = 2.

     В частных случаях бывают целесообразны следующие подстановки:

 или 

 или 

 или 

Интегрирование некоторых трансцендентных функций

     1.  - многочлен.

     Интеграл можно вычислять интегрированием по частям или методом неопределенных коэффициентов, отыскивая результат в виде

где Q(x) - многочлен той же степени, что и P(x).

     Имеет место результат

 

     2.  - многочлен.

     Кроме интегрирования по частям, можно пользоваться формулами:

Категория: Математика | Добавил: Просмотров: 1 | Теги: Интегральное исчисление | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0