Тема №2476

Интегралы от функций нескольких переменных

Двойной интеграл


     Сведение к повторному 

(область D ограничена кривыми ).


     Замена переменных 

отображение x = x(u, v), y = y(u, v) - диффеоморфизм множества G на D, J(u, v) - якобиан отображения:

     В частности, переход к полярным координатам  (якобиан )


     Некоторые приложения двойного интеграла 

     Площадь плоской фигуры 


     Объем цилиндроида 

 Площадь поверхности: 

     1. Заданной уравнением z = f(x, y):

     2. Заданной параметрически (x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)):

где

либо

где 


     Масса плоской фигуры 

( - плотность).


     Статические моменты относительно координатных осей 


     Координаты центра масс 

 Моменты инерции 

     Относительно оси Ох:

     Относительно оси Оу:

     Относительно начала координат:

 

Тройной интеграл


     Сведение к повторному 


     Замена переменных 

отображение x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) - диффеоморфизм множества E' на E; J(u, v, w) - якобиан отображения:

 В частности, в цилиндрических координатах 

в сферических координатах 


     Приложения тройного интеграла 

     Объем тела 


     Масса тела 

( - плотность тела).


     Координаты центра масс 

 Моменты инерции 

     Относительно координатных плоскостей:

     Относительно координатных осей:

     Относительно начала координат:

Криволинейные интегралы


     Криволинейный интеграл 1-го рода (Кри-1)  

     Сведение Кри-1 к определенному интегралу 

     Если кривая l задана уравнением  то

     Если кривая l задана параметрически  то


     Криволинейный интеграл 2-го рода (Кри-2)  

     Изменение направления обхода по кривой 


     Сведение Кри-2 к определенному интегралу 

     1. Кривая l задана уравнением y = f(x), x изменяется от  до :

     2. Кривая l задана параметрически: x = x(t), y = y(t), t изменяется от  до :


     Сведение Кри-2 к Кри-1 

где  - угол между направлением касательной к кривой l, согласованным с направлением обхода на кривой, и положительным направлением оси Ох.

 Формула Грина 

     Если D - односвязная область, то  (граница области D) - простая замкнутая кривая, обход по которой совершается против часовой стрелки. Если D - неодносвязна, то  - совокупность замкнутых кривых, обход по которым совершается так, что D остается слева.


     Первообразная дифференциального выражения 

     Если в односвязной области D для функций P и Q выполняется условие Эйлера  то дифференциальное выражение  является полным дифференциалом, т. е. существует функци u = u(x, y) (первообразная), такая, что  всюду в областиD. Первообразная может быть вычислена по одной из формул:

     Кри-2 от выражения, являющегося полным дифференциалом, не зависит от формы пути, соединяющего точки  и может быть вычислен с помощью формулы двойной подстановки:

Некоторые приложения криволинейных интегралов 

     Длина кривой 


     Масса кривой 

( - плотность кривой).


     Координаты центра масс 


     Работа 

     Работа силы  вдоль кривой l:

Поверхностные интегралы


     Поверхностный интеграл 1-го рода (Пови-1) 


     Сведение к двойному 

     1. Поверхность S задана уравнением 

где  - величина угла между нормалью к поверхности и положительным направлением оси Oz.

     2. Поверхность S задана параметрически: 

где 

 или

где 

Поверхностный интеграл 2-го рода (Пови-2) 

по фиксированной стороне двусторонней поверхности S.


     Пови-2 по разным сторонам S+ и S - одной и той же поверхности S 


     Сведение Пови-2 к Пови-1 

где  - направляющие косинусы нормали, соответствующей выбранной стороне поверхности.


     Сведение Пови-2 к двойному интегралу 

     1. Поверхность S задана параметрически: 

выбор знака перед интегралом согласуют со стороной поверхности, по которой ведется интегрирование.

     2. Поверхность S задана уравнением 

если Пови-2 вычисляется по верхней стороне поверхности S;

для нижней стороны поверхности S.

  Формула Стокса 

обход контура  (границы поверхности S) согласован с выбором стороны поверхности S.


     Формула Стокса в символической форме 

( - направляющие косинусы нормали, соответствующей выбранной стороне поверхности.


     Формула Остроградского 

( - внешняя сторона поверхности тела E);

( - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности ).

Категория: Математика | Добавил: Просмотров: 1 | Теги: Интегральное исчисление | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0