Тема №2473

Функции нескольких переменных

Функции двух переменных 

     Приращение функции 


     Функция, дифференцируемая в точке  

 при 

В этом случае дифференциал функции в точке :

 - частные производные, вычисленные в точке .


     Дифференцирование композиции 

     1. Если  то

     2. Если  то:


     Однородная функция степени k 

Тождество Эйлера для однородной функции степени k 


     Формула конечных приращений 


     Градиент функции f 


     Производная по направлению, определяемому вектором  


     Частные производные высших порядков 

 или 

 или 

 или 

 или 


     Равенство смешанных производных 

если указанные производные непрерывны.

Дифференциалы высших порядков (х, у - независимые переменные) 

где  - оператор дифференцирования.


     Формула Тейлора 


     Формула Тейлора в дифференциалах 


     Производные функций, заданных неявно 

      определяется уравнением F (x, y) = 0, то

кратко: 

Локальный экстремум функции двух переменных 

     Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции 

     Если  - точка экстремума функции f, то

 и  или 


     Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции 

     Обозначим  

     Если D > 0, A > 0, то  - точка минимума.

     Если D > 0, A < 0, то  - точка максимума.

     Если D < 0, экстемума в точке  нет.

     Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.


     Функции n переменных 


     Приращение функции в точке  


     Функция, дифференцируемая в точке  

 при 

 В этом случае дифференциал функции f в точке :

 - частные производные первого порядка функции f.

Дифференцирование композиции 

     Если  то


     Дифференциалы высших порядков

(x1, x2, ..., xn - независимые переменные)

 

где  - оператор дифференцирования.


     Формула Тейлора 


     Локальный экстремум функции n переменных 

     Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции 

     Если - точка экстремума функции f, то или 

 Достаточное условие экстремума дважды дифференцируемой функции 

     Если и  то  - точка максимума.

     Если и  то  - точка минимума.


     Условный экстремум 

     Постановка задачи 

     В области D найти экстремумы функции  при условии, что переменные x1, x2, ..., xn в D удовлетворяют m (m < n) условиям (связям):

     (1)

причем функции независимы в D.


     Необходимые условия локального экстремума 

     Функция Лагранжа 

     Если  - точка локального условного экстремума, то в этой точке

     (2)

     Каждой точке экстремума сопутствует единственный набор чисел 


     Достаточные условия локального экстремума 

     Пусть  - решение системы (2),  - второй дифференциал функции Лагранжа, вычисленный в этой точке, а часть переменных  в  исключена с помощью соотношений  полученных дифференцированием условий (1).

     Если получившаяся квадратичная форма  есть положительно определенная квадратичная форма n - m переменных, то  - точка условного локального минимума, если же  - отрицательно определенная квадратичная форма, то  - точка условного локального максимума.

Выпуклые функции n переменных 

     Выпуклое множество 

     Множество  называется выпуклым, если вместе с точками X, Y оно содержит отрезок 


     Выпуклые функции 

     Функция u = f(x), заданная на выпуклом D, называется выпуклой, если

и строго выпуклой, если


     Признак строгой выпуклости 

     Если в каждой точке X области D второй дифференциал d2f(X) есть положительно-определенная квадратичная форма от дифференциалов независимых переменных, то f строго выпукла в D.


     Свойства строго выпуклых функций 

     Строго выпуклая функция имеет не более одной точки локального минимума в D и ни одной точки локального максимума. Точки глобального максимума строго выпуклой функции, определенной на выпуклом компакте, лежат на границе этого компакта.

     Если f дифференцируема, строго выпукла на выпуклой области D и имеет стационарную точку  то  является точкой глобального минимума f, притом единственной.

Категория: Математика | Добавил: Просмотров: 1 | Теги: Дифференциальное исчисление | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0