1. Что такое целевая функция?
Целевая функция - это функция, которую необходимо минимизировать или максимизировать в задаче оптимизации.
2. Почему выражение «самый оптимальный» не имеет смысла?
Потому что оптимальность зависит от конкретного контекста, цели и ограничений задачи, а не существует универсального наилучшего решения.
3. Что можно сказать о рекламной фразе «Этот крем обеспечивает оптимальный цвет лица»?
Фраза не имеет конкретного смысла, так как не определено, что означает "оптимальный цвет лица" и как это связано с действительными потребностями и ограничениями потребителей.
4. Зачем нужны ограничения в задаче оптимизации?
Ограничения в задаче оптимизации необходимы для определения допустимой области переменных, в которой можно искать решение, и учета фактических ограничений, которые необходимо соблюсти.
5. В чём разница между понятиями «локальный минимум» и «глобальный минимум»?
Локальный минимум - это точка, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках, но не обязательно наименьшее из всех значений функции. Глобальный минимум - это наименьшее значение функции на всей области определения.
6. Почему результат решения задачи оптимизации чаще всего зависит от выбора начального приближения? В каком случае не зависит?
Результат решения задачи оптимизации зависит от выбора начального приближения, потому что процесс оптимизации может остановиться в локальном минимуме вместо глобального минимума. В случае выпуклой функции результат не зависит от начального приближения.
7. Как задачу решения уравнения можно сформулировать в виде задачи оптимизации?
Задачу решения уравнения можно сформулировать в виде задачи оптимизации, поставив целью минимизацию разности между левой и правой частями уравнения.
8. Определите, на какой минимальный срок (целое число лет) необходимо поместить в банк 20 000 рублей, чтобы получить не менее 100 000 рублей при ставке 10% годовых.
Для решения задачи нужно найти, сколько лет необходимо вкладывать 20 000 рублей под 10% годовых, чтобы получить 100 000 рублей. Для этого можно воспользоваться формулой сложных процентов:
S = P(1 + r/100)^n
где S - итоговая сумма, P - начальная сумма, r - годовая процентная ставка, n - число лет.
Подставляя известные значения, получаем:
100000 = 20000(1 + 10/100)^n
Выразим n:
n = log(100000/20000) / log(1 + 10/100)
n ≈ 11.5
Значит, необходимо вкладывать деньги не менее чем на 12 лет (целое число лет) под 10% годовых, чтобы получить не менее 100 000 рублей.
9. Найдите стороны прямоугольного треугольника, имеющего наибольшую возможную площадь, если известно, что сумма длин его катетов равна 10.
Пусть x и y - длины катетов. Тогда площадь S = (xy)/2, а сумма длин катетов x + y = 10. Можно свести задачу к оптимизации функции S = (10 - y)y/2, которая имеет глобальный максимум при y = 5 и x = 5.