1. Сравните численные и аналитические методы решения уравнений. В чём достоинства и недостатки каждого подхода?
Численные методы решения уравнений основываются на приближенных вычислениях, в то время как аналитические методы используют алгебраические и тригонометрические преобразования для нахождения решения. Достоинством численных методов является их универсальность и применимость к сложным уравнениям, недостатком - потенциальная погрешность вычислений и необходимость выбора точности решения. Аналитические методы имеют высокую точность и не требуют численных вычислений, но не всегда возможно применить аналитические методы к сложным уравнениям.
2. Какие методы называются приближёнными? В каких случаях они используются?
Приближенными методами решения уравнений называют методы, которые дают приближенное решение с определенной точностью. Они используются в случаях, когда нет возможности найти точное решение аналитически или численно, или же точное решение требует слишком много времени на вычисление.
3. Какие методы называют итерационными?
4. После построения графиков выяснилось, что уравнение имеет три решения. Как вы будете их искать?
Для поиска всех решений уравнения можно использовать численные методы, такие как метод половинного деления или метод Ньютона. Также можно воспользоваться графическим методом, построив график уравнения и определив его пересечения с осью абсцисс.
5. Найдите все решения уравнения:
а) x2 =5cos(x – 1);
б) x2 – sin x = 1;
в) 2x3 – 15sin x + 0,5 x –5 = 0.
а) Уравнение x2 = 5cos(x – 1) имеет два решения: x ≈ -1,3 и x ≈ 1,9. б) Уравнение x2 – sin x = 1 имеет два решения: x ≈ -1,7 и x ≈ 2,5. в) Уравнение 2x3 – 15sin x + 0,5 x –5 = 0 можно решить только численными методами, например, методом Ньютона, получив x ≈ 1,48.
6. Вы хотите положить в банк 20 000 рублей. Ежегодно на сумму вклада начисляются проценты. Например, если ставка составляет 10% годовых, каждый год сумма увеличивается в 1,1 раза. При какой ставке сумма вырастет до 30 000 рублей за 5 лет?
Для решения этой задачи нужно использовать формулу сложных процентов:
S = P(1 + r/100)^n
где S - конечная сумма вклада, P - начальная сумма вклада (в нашем случае 20 000 рублей), r - годовая процентная ставка, n - количество лет.
Мы знаем, что за 5 лет сумма вклада должна вырасти до 30 000 рублей, то есть S = 30 000 и n = 5. Подставляя эти значения в формулу, получаем:
30 000 = 20 000(1 + r/100)^5
Разрешая уравнение относительно r, получаем:
(1 + r/100)^5 = 3/2
1 + r/100 = (3/2)^(1/5)
r = (1.5^(1/5) - 1) * 100 ≈ 8.86
Таким образом, чтобы сумма вклада выросла до 30 000 рублей за 5 лет, необходимо выбрать годовую процентную ставку около 8.86%.