1. Из данных предложений выберите те, которые являются высказываниями. Обоснуйте свой выбор. 1) Как пройти в библиотеку? 2) Коля спросил: «Который час?» 3) Картины Пикассо слишком абстрактны. 4) Компьютеры могут быть построены только на основе двоичной системы счисления.
1. Не является высказыванием, так как это вопрос, а не утверждение. 2. Не является высказыванием, так как это косвенный вопрос, а не прямое утверждение. 3. Является высказыванием, так как это прямое утверждение. 4. Является высказыванием, так как это утверждение, выражающее определенную истину.
2. Из каждых трёх выберите два высказывания, являющихся отрицаниями друг друга: 1) «1999 < 2000», «1999 > 2000», «1999 ≤ 2000»; 2) «Петя решил все задания контрольной работы», «Петя не решил все задания контрольной работы», «Петя решил не все задания контрольной работы»; 3) «Луна — спутник Земли», «Неверно, что Луна — спутник Земли», «Неверно, что Луна не является спутником Земли »; 4) «Прямая а не параллельна прямой с», «Прямая а перпендикулярна прямой с», «Прямые а и с не пересекаются» (считаем, что прямые а и с лежат в одной плоскости); 5) «Мишень поражена первым выстрелом», «Мишень поражена не первым выстрелом», «Неверно, что мишень поражена не первым выстрелом».
«1999 < 2000» и «1999 ≥ 2000» являются отрицаниями друг друга. «Петя решил все задания контрольной работы» и «Петя не решил все задания контрольной работы» являются отрицаниями друг друга. «Луна — спутник Земли» и «Неверно, что Луна не является спутником Земли » являются отрицаниями друг друга. «Прямая а не параллельна прямой с» и «Прямые а и с не пересекаются» являются отрицаниями друг друга. «Мишень поражена первым выстрелом» и «Мишень поражена не первым выстрелом» являются отрицаниями друг друга. Вариант «Неверно, что мишень поражена не первым выстрелом» не является отрицанием высказывания «Мишень поражена первым выстрелом», так как это утверждение само по себе не является ложным, и его отрицание не приводит к истинному высказыванию.
3. Рассмотрите следующие элементарные высказывания: А = «Река Днепр впадает в Чёрное море», В = «45 — простое число», С = «Вена — столица Австрии», D = «0 — натуральное число».
Определите, какие из них истинные, а какие ложные. Составьте сложные высказывания, применяя каждый раз только одну из пяти логических операций к высказываниям А, В, С и D. Сколько новых высказываний можно получить с помощью отрицания (инверсии)? Конъюнкции? Дизъюнкции? Импликации? Эквиваленции? Сколько всего новых высказываний можно получить? Сколько среди них будет истинных?
Самостоятельно
4. Представьте каждую пословицу в виде сложного логического высказывания, построенного на основе простых высказываний. Ответ обоснуйте при помощи таблиц истинности. 1) На вкус и цвет товарищей нет. 2) Если долго мучиться, что-нибудь получится. 3) Не зная броду, не суйся в воду. 4) Тяжело в ученье, легко в бою. 5) То не беда, что во ржи лебеда, то беда, что ни ржи, ни лебеды. 6) Где тонко, там и рвётся. 7) Или грудь в крестах, или голова в кустах. 8) За двумя зайцами погонишься — ни одного не поймаешь. 9) И волки сыты, и овцы целы.
5. Подберите вместо А, В, С, D такие высказывания, чтобы полученные сложные высказывания имели смысл: 1) если (А или В и С), то D; 2) если (не А и не В), то (С или D); 3) (А или В) тогда и только тогда, когда (С и не D).
6. Вычислите: 1) 1 v X & O; 2) X & X & 1; 3) 0 & X v 0; 4) 0 v X & X.
7. Сколько из приведённых чисел Z удовлетворяют логическому условию: ((Z кратно 4) v (Z кратно 5)) → (Z кратно 6)? 1) 4; 2) 6; 3) 7; 4) 12.
Для того, чтобы выражение ((Z кратно 4) v (Z кратно 5)) → (Z кратно 6) было истинным, достаточно, чтобы его следствие было истинным. То есть, если Z кратно 6, выражение будет верным, независимо от того, кратно ли Z 4 или 5. Все кратные 6 числа также кратны 4 и 5, поэтому любое кратное 6 число будет удовлетворять данному логическому условию. Ответ: 2.
8. Найдите все целые числа Z, для которых истинно высказывание:
9. Какие из высказываний А, В, С должны быть истинны и ка кие ложны, чтобы были ложны следующие высказывания?
10. Даны три числа в различных системах счисления:
А = 2310, В = 238, С = 1А16.
Переведите А, В и С в двоичную систему счисления и вы полните поразрядно логические операции (A v В) & С. Ответ дайте в десятичной системе счисления.
11. Логическое отрицание восьмиразрядного двоичного числа записанное в десятичной системе счисления, равно 217 Определите исходное число в десятичной системе счисления.
Логическое отрицание двоичного числа — это операция инвертирования всех его битов. Чтобы получить исходное число, необходимо снова инвертировать все его биты. Так как дано, что отрицание числа в десятичной системе равно 217, то это число 11011001 в двоичной системе. Инвертировав его, получим 00100110. Это число в десятичной системе равно 38. Ответ: 38.
12. Определите логическое произведение и логическую сумм} всех двоичных чисел в диапазоне от 1610 до 2210, включая границы. Ответ запишите в восьмеричной системе счисления.
13. Сколько различных решений имеет логическое уравнение?
14. Сколько решений имеет логическое уравнение х1 & х2 v х3 & x4 = 1?
15. Изобразите в декартовой прямоугольной системе координат множества истинности для следующих предикатов:
16. Предикат ((8x - 6) < 75) → (х(x - 1) > 65) определён на множестве целых чисел. Найдите его множество истинности. Укажите наибольшее целое число х, при котором предикат превращается в ложное высказывание.
Для того, чтобы определить множество истинности данного предиката, необходимо решить неравенства, которые выражают его условие. Начнём с первой части предиката:
(8x - 6) < 75
Решаем его относительно x:
8x - 6 < 75 8x < 81 x < 10.125
Теперь переходим ко второй части предиката:
x(x - 1) > 65
Получаем квадратное неравенство:
x^2 - x > 65
Решаем его с помощью квадратного уравнения:
x^2 - x - 65 > 0
Корни уравнения:
x1 = (1 + sqrt(1 + 465)) / 2 = 8.05 x2 = (1 - sqrt(1 + 465)) / 2 = -7.05
Таким образом, неравенство выполняется при x < -7 или x > 8. Проверяем исходный предикат при значениях x = -7 и x = 9:
(8 * (-7) - 6) < 75 → (-7 * (-8) > 65) - ложное высказывание (8 * 9 - 6) < 75 → (9 * 8 > 65) - истинное высказывание
Таким образом, множество истинности предиката - это множество всех целых чисел, кроме -7 и всех чисел, больших 8. Наибольшее целое число, при котором предикат превращается в ложное высказывание - это -7.