1. Что такое система счисления? Какие классы систем счисления принято выделять?
Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определенные правила записи чисел.
Выделяются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная система счисления.
2. Дайте определение позиционной системы счисления. Что называется алфавитом системы счисления? Что называется базисом позиционной системы счисления? Что называется основанием позиционной системы счисления?
Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления. ... Базис позиционной системы счисления - это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры "по месту" или "вес" каждого разряда.
3. Сколько цифр используется в системе счисления с основанием 2, 3, 5, 8, 16, 100, q?
В соответствии с названием системы.
4. Какая форма записи числа называется развёрнутой?
Развернутая форма записи числа – это запись в виде разрядных слагаемых, записанных с помощью степени соответствующего разряда и основания степени (основание счета).
5. Запишите в развёрнутой форме числа:
1) 143,51110; 2) 1435,118; 3) 143,51116.
143,511(10) = 1*10^2+4*10^1+3*10^0+5*10^-1+1*10^-2+1*10^-3
143511(8) = 1*8^5+4*8^4+3*8^3+5*8^2+1*8^1+1*8^0
143511(16) = 1*16^5+4*16^4+3*16^3+5*16^2+1*16^1+1*16^0
1435,11(8) = 1*8^3+4*8^2+3*8^1+5*8^0+1*8^-1+1*8^-2
6. Воспользуйтесь схемой Горнера для представления чисел:
1) 1234510; 2) 123458; 3) 0,123456.
Самостоятельно.
7. Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел:
1) 1203; 2) 100,214; 3) 5А,12416.
8. Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 128, 1223 и 110112?
переведем все числа в 10-ную сс • 12₈=2*8⁰+1*8¹=2+8=10₁₀ • 122₃=2*3⁰+2*3¹+1*3²=2+6+9=17₁₀ • 11011₂=1*2⁰+1*2¹+0*2²+1*2³+1*2⁴=1+2+8+16=27₁₀ _____ условие существования треугольника: любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. проверяем: a<b+c 10<17+27 10<44 ✓ b<a+c 17<10+27 17<37 ✓ c<a+b 27<10+17 27<27 ✖ => данный треугольник существовать не может
9. Укажите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:
1) [2023; 10003]; 2) [148, 208]; 3) [2816, 3016].
10. Найдите основание х системы счисления, если известно:
1) 4710 = 21x; 2) 1331x = 610.
Пример 1
2 · x¹ + 1 · x⁰ = 47₁₀
2x + 1 = 47
2x = 46
x = 23 - это и есть основание системы счисления.
Пример 2
1 · x³ + 3 · x² + 3 · x¹ + 1 · x⁰ = 6₁₀
x³ + 3x² + 3x + 1 = 6
x³ + 3x² + 3x - 5 = 0
Ответ данного уравнения третьей степени будет содержать корень, поэтому системы счисления как таковой нет.
11. Десятичное число 63 в некоторой системе счисления записывается как 120. Определите основание системы счисления.
12. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству 9D16 < С < 2378?
1) 100110102; 2) 100111102; 3) 100111112; 4) 110111102.
Решение (через двоичную систему)
1) А=9D16=1001 11012=100111012 (каждая цифра шестнадцатеричной системы отдельно переводится в четыре двоичных – тетраду);
2) B=2378=010 011 1112=100111112 (каждая цифра восьмеричной системы отдельно переводится в три двоичных – триаду, старшие нули можно не писать);
3) теперь сравниваем, видим, что между этими числами находится только двоичное число 100111102 – это ответ 2.
13. Как изменится величина чисел 311,2114 и 23,456 при переносе запятой на:
1) один знак вправо;
2) два знака влево?
14. При переносе запятой на два знака вправо число 240,13х увеличилось в 25 раз. Чему равно х?
При переносе запятой на k знаков вправо число увеличивается в p^k раз, где p - основание системы счисления.
При переносе запятой на k знаков влево число уменьшается в p^k раз, где p - основание системы счисления.
По условию перенос вправо и k=2, p^k=p^2=25, отсюда p=25.
15. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?
а) Наибольшее число, записанное тремя цифрами в двоичной системе счисления это 111.
Переведем это число в десятичную систему:
1112 = 1 * 2^2 + 1 *2^1 + 1 * 2^0 = 1 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 4 + 2 + 1 = 7.
Ответ: 7.
б) Наибольшее число, записанное тремя цифрами в восьмеричной системе счисления это 777.
7778 = 7 * 7^2 + 7 *7^1 + 7 * 7^0 = 7 * 49 + 7 * 7 + 7 * 1 = 7 * (49 + 1) + 49 = 7 * 50 + 49 = 350 + 49 = 399.
Ответ: 399.
в)
Наибольшее число, записанное тремя цифрами в шестнадцатеричной системе счисления это 999.
99916 = 9 * 16^2 + 9 *16^1 + 9 * 16^0 = 9 * 256 + 9 * 16 + 9 * 1 = 9 * (256 + 16 + 1) = 9 * 273 = 2457.
Ответ: 2457.
16. Найдите наименьшие основания систем счисления х и у, исходя из условий:
1) 23х = 21у; 2) 51х = 15у; 3) 144х = 441у.
17. Решите уравнение 547 + х = 3205.
18. Все трёхбуквенные слова, составленные из букв И, М, Р, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:
1. НИИ
2. ИИМ
3. ПИР
4. ИМИ
.....
Выясните общее количество слов в этом списке. На каких местах в этом списке стоят слова МИМ, МИР, РИМ?
1ый вопрос:
на первом месте есть 3 варианта буквы, на втором тоже 3, на третьем 3
=> всего слов 3 * 3 * 3 = 27
2ой:
1 - ая буква - м, => это как минимум 10-ое слово (т.к. в предыдущих 3 * 3 словах первая - и)
при этом 10 слово - мии => 11 слово - МИМ; 12 cлово - МИР;
3ий:
1-ая буква -Р это как минимум 19 слово (предыдущие 2 * 3 * начинаются на и или м)
19 слово - РИИ => 21 - PИМ
19. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22.
20. Трёхзначное число, записанное в системе с основанием 3, при перестановке крайних цифр становится числом, выражающим то же количество, но уже в системе с основанием 4. Найдите это число.
Это число 211
211(3)=2*9+1*3+1=22(10)
112(4)=1*16+1*4+2=22(10)
21. Исполнитель умеет сравнивать однозначные числа, представленные в некоторой позиционной системе счисления. Составьте для него: 1) алгоритм сравнения двух двухзначных чисел; 2) алгоритм сравнения двух n-значных чисел.