1. Что такое система счисления? Какие классы систем счисления принято выделять?
Система счисления - это математическая модель, которая позволяет представлять числа с помощью конечного набора символов. Классы систем счисления, которые принято выделять: двоичная, троичная, пятеричная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная и другие.
2. Дайте определение позиционной системы счисления. Что называется алфавитом системы счисления? Что называется базисом позиционной системы счисления? Что называется основанием позиционной системы счисления?
Позиционная система счисления - это система счисления, в которой значение числа определяется позицией цифры в записи числа. Алфавит системы счисления - это набор символов, которые используются для записи чисел в этой системе счисления. Базис позиционной системы счисления - это количество символов, используемых в алфавите. Основание позиционной системы счисления - это число, равное базису системы счисления.
3. Сколько цифр используется в системе счисления с основанием 2, 3, 5, 8, 16, 100, q?
Система счисления с основанием 2 использует 2 цифры (0 и 1), система с основанием 3 - 3 цифры (0, 1 и 2), система с основанием 5 - 5 цифр (0, 1, 2, 3 и 4), система с основанием 8 - 8 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7), система с основанием 16 - 16 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F), система с основанием 100 - 100 цифр (от 00 до 99). В системе счисления с неизвестным основанием (обозначенном как q) используется q цифр.
4. Какая форма записи числа называется развёрнутой?
Развёрнутая форма записи числа - это запись числа справа налево, где младший разряд располагается слева, а старший - справа. Например, число 123 в развёрнутой форме будет записано как 321.
5. Запишите в развёрнутой форме числа:
1) 143,51110; 2) 1435,118; 3) 143,51116.
Знак ^ это степень
143,511(10) = 1*10^2+4*10^1+3*10^0+5*10^-1+1*10^-2+1*10^-3
143511(8) = 1*8^5+4*8^4+3*8^3+5*8^2+1*8^1+1*8^0
143511(16) = 1*16^5+4*16^4+3*16^3+5*16^2+1*16^1+1*16^0
1435,11(8) = 1*8^3+4*8^2+3*8^1+5*8^0+1*8^-1+1*8^-2
6. Воспользуйтесь схемой Горнера для представления чисел:
1) 1234510; 2) 123458; 3) 0,123456.
Самостоятельно.
7. Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел:
1) 1203; 2) 100,214; 3) 5А,12416.
8. Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 128, 1223 и 110112?
9. Укажите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:
1) [2023; 10003]; 2) [148, 208]; 3) [2816, 3016].
10. Найдите основание х системы счисления, если известно:
1) 4710 = 21x; 2) 1331x = 610.
11. Десятичное число 63 в некоторой системе счисления записывается как 120. Определите основание системы счисления.
12. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству 9D16 < С < 2378?
1) 100110102; 2) 100111102; 3) 100111112; 4) 110111102.
13. Как изменится величина чисел 311,2114 и 23,456 при переносе запятой на:
1) один знак вправо;
2) два знака влево?
14. При переносе запятой на два знака вправо число 240,13х увеличилось в 25 раз. Чему равно х?
15. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?
16. Найдите наименьшие основания систем счисления х и у, исходя из условий:
1) 23х = 21у; 2) 51х = 15у; 3) 144х = 441у.
17. Решите уравнение 547 + х = 3205.
18. Все трёхбуквенные слова, составленные из букв И, М, Р, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:
1. НИИ
2. ИИМ
3. ПИР
4. ИМИ
.....
Выясните общее количество слов в этом списке. На каких местах в этом списке стоят слова МИМ, МИР, РИМ?
Количество слов в списке равно числу возможных перестановок из трех букв, то есть 3!=6. Чтобы узнать, на каких местах в этом списке стоят слова МИМ, МИР, РИМ, можно воспользоваться алгоритмом лексикографического поиска. Необходимо отсортировать все слова по алфавиту и пронумеровать их. Затем можно искать каждое слово в списке по следующему алгоритму:
Сравнить первую букву искомого слова с первой буквой слова на средней позиции списка. Если они совпадают, то проверить вторую букву искомого слова с второй буквой слова на средней позиции списка. Если они совпадают, то проверить третью букву искомого слова с третьей буквой слова на средней позиции списка. Если все буквы совпали, то искомое слово найдено, его позиция в списке равна средней позиции. Если хотя бы одна буква не совпала, то нужно выбрать одну из двух половинок списка (до средней позиции или после нее) и повторить процедуру с шага 1. При применении этого алгоритма мы находим, что:
МИМ находится на второй позиции в списке (сравнение с НИИ даёт результат "меньше", сравнение с ИИМ даёт результат "больше"). МИР находится на шестой позиции в списке (сравнение с РИИ даёт результат "меньше", сравнение с РИП даёт результат "больше"). РИМ находится на четвертой позиции в списке.
19. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22.
20. Трёхзначное число, записанное в системе с основанием 3, при перестановке крайних цифр становится числом, выражающим то же количество, но уже в системе с основанием 4. Найдите это число.
21. Исполнитель умеет сравнивать однозначные числа, представленные в некоторой позиционной системе счисления. Составьте для него: 1) алгоритм сравнения двух двухзначных чисел; 2) алгоритм сравнения двух n-значных чисел.